Я представляю здесь некоторые новаторские результаты моего последнего исследования стохастических процессов. моделирование хаоса и динамические системы с приложениями к финансовым технологиям, криптографии, теории чисел и генераторам случайных чисел. Несмотря на то, что эта статья охватывает сложные темы, она доступна для профессионалов с ограниченными знаниями в статистической или математической теории. Он вводит новый материал, не вошедший в мою недавнюю книгу (доступную здесь) по прикладным стохастическим процессам. Вам не нужно читать мою книгу, чтобы понять эту статью, но книга является хорошим дополнением и введением в концепции, обсуждаемые здесь.
Ни один из представленных здесь материалов не описан в стандартных учебниках по стохастическим процессам или динамическим системам. В частности, это не имеет ничего общего с классической логистической картой или броуновскими движениями, хотя исследуемые здесь системы демонстрируют очень похожее поведение и связаны с классическими моделями. Эта междисциплинарная статья предназначена для профессионалов, интересующихся статистикой, вероятностью, математикой, машинным обучением, моделированием, обработкой сигналов, исследованием операций, информатикой, распознаванием образов и физикой. Из-за своего обучающего стиля он также должен понравиться новичкам, изучающим марковские процессы, временные ряды и методы обработки данных в целом, предлагая свежий, нестандартный контент, которого нет больше нигде, контрастируя с материалом, рассмотренным снова и снова. снова в бесчисленных одинаковых книгах, веб-сайтах и классах, предназначенных как для студентов, так и для исследователей.
Некоторые проблемы, обсуждаемые здесь, могут быть использованы профессорами колледжей в классе или в качестве оригинальных экзаменационных вопросов, в то время как другие являются чрезвычайно сложными вопросами, которые могут стать предметом докторской диссертации или даже намного выше этого уровня. Эта статья представляет собой (наряду с моей книгой) ступеньку в моем стремлении решить одну из самых больших загадок во Вселенной: равномерно ли распределены числа математических констант, таких как число Пи? По сей день никто не знает, имеют ли эти цифры изначальное распределение, не говоря уже о том, является ли это распределение равномерным или нет. Часть обсуждения посвящена статистическим свойствам систем счисления в нецелочисленной основе (например, базе золотого сечения) и их приложениях. Все исследуемые здесь системы, будь то детерминированные или нет, рассматриваются как стохастические процессы, включая рассматриваемые цифры. Все они демонстрируют сильный хаос, хотя и легко управляемые в силу своей эргодичности. .
Интересные связи с золотым сечением, специальными полиномами и другими специальными математическими константами обсуждаются в разделе 2. Наконец, все анализы, выполненные в ходе этой работы, были выполнены в Excel. В этой статье я делюсь своими электронными таблицами, а также множеством иллюстраций, и все результаты можно воспроизвести.
"Читай полную статью здесь".
Содержание этой статьи
1. Общая структура, обозначения и терминология
- Нахождение равновесного распределения
- Автокорреляция и спектральный анализ
- Эргодичность, сходимость и аттракторы
- Пространственное состояние, временное состояние и приближения цепи Маркова
- Примеры
2. Тематическое исследование
- Первая фундаментальная теорема
- Вторая фундаментальная теорема
- Сходимость к равновесию: иллюстрация
3. Приложения
- Возможные области применения
- Пример: процесс золотого сечения
- Поиск других полезных b-процессов
4. Дополнительные темы исследования
- Совершенные стохастические процессы
- Характеристика равновесных распределений (аттракторы)
- Вероятностное исчисление и теория чисел, специальные интегралы
5. Приложение
- Вычисление автокорреляции в равновесии
- Доказательство первой фундаментальной теоремы
- Как найти точное равновесное распределение
6. Дополнительные ресурсы
"Читай полную статью здесь".