Изменения в жизни постоянны, и их скорость измеряется расчетами
Если бы я мог вернуться в школьные годы и снова изучить одну тему, это был бы расчет.
Исчисление должно быть одной из самых увлекательных математических концепций, когда-либо обнаруженных. Это часто считается одной из самых сложных тем в математике.
Исчисление играет решающую роль в машинном обучении и лежит в основе проблем оптимизации. На это опирается физика. Большинство расчетов ключевых финансовых рисков основано на концепции исчисления.
Я напишу серию статей, чтобы помочь нам понять, как работает исчисление. В каждой из этих статей я также познакомлю читателей с ключевыми математическими обозначениями.
К концу серии мы должны иметь твердое представление о ключевых областях исчисления, включая дифференцирование, интегрирование, частичное и стохастическое исчисление.
Статья Цель
Эта статья использует пошаговый подход и стремится объяснить исчисление с самых основ. Он будет охватывать следующие области:
- Краткая история исчисления
- Объяснение скорости изменения
- Важность изучения математического анализа
- Производная функции
- Введение в общее правило мощности
- Ключевые математические обозначения
- Упражнения на дифференциацию для закрепления концепции
- Введение в правило цепочки
Мы будем собирать необходимые знания по частям. Эта статья направлена на то, чтобы изложить основные концепции в простой для понимания форме.
Концепция, которую нельзя пропустить
1. Введение: Краткая история исчисления
Хотя использование исчисления можно найти в работах древних египтян (1800 г. до н.э.) и греков (400 г. до н.э.), современное исчисление было введено двумя выдающимися умами Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница.
По сути, существует два основных раздела исчисления: дифференцирование и интегрирование.
- Дифференциация: помогает нам понять, как изменяется выход функции при изменении ее входных данных. В этой статье основное внимание будет уделено концепции дифференциации.
- Интеграция: помогает рассчитать общее влияние изменения с течением времени и помогает вычислить функцию по ее производной. В следующей статье будет изложена концепция интеграции.
Чтобы получить хорошее представление об интеграции, щелкните эту ссылку:
Вы, должно быть, видели ряд математических символов, которые поначалу могут показаться сложными. В этой серии статей мы концептуально объясним эти символы.
2. Итак, что означает скорость изменения?
Представьте себе жизнь, в которой вокруг вас ничего не движется.
Каждый объект неподвижен. В жизни нет понятия «переменная». Все статично, каждый объект доступен только для чтения и не может быть обновлен, и каждый экземпляр постоянен. В жизни нет концепции перемен.
Жить было бы довольно скучно, правда! Все будут точно знать, где все будет в будущем, поскольку все остается.
К счастью, наш мир динамичен по своей природе и может усложняться. Анализируйте мир вокруг нас. Меняется почти все.
Некоторые вещи изменяют свое поведение быстрее, чем другие, некоторые объекты движутся вокруг центральной точки, а некоторые даже демонстрируют циклические характеристики.
Все эти переменные можно рассматривать как функции времени, поскольку они зависят от времени.
Если мы сможем понять скорость изменения переменной, то сможем лучше прогнозировать количество. Как только мы сможем точно прогнозировать переменные, мы сможем принимать информативные и расчетные решения в нашей жизни.
Скорость изменения
Скорость изменения - это мера того, насколько количество изменяется (увеличивается или уменьшается) по сравнению с изменением другого количества.
Скорость изменения можно измерить с помощью расчетов, а также с помощью градиента линии.
3. Почему важно научиться исчислению?
Исчисление помогает нам понять, как переменные меняются со временем. Это помогает нам измерить скорость изменения (дифференциации). Он также используется для определения общего воздействия изменения во времени (интеграция).
Исчисление можно использовать, чтобы помочь нам понять поведение и характеристики сложных изменяющихся функций. Тогда мы сможем лучше рассчитать риски. Как только мы осознаем риски, мы сможем принимать информативные решения и предпринимать логические рациональные действия.
Использование исчисления может избавить нас от выполнения утомительной и медленной задачи по поиску различных входных данных, чтобы определить, как ведет себя функция переменной. Это помогает нам найти точки максимума и минимума функции.
Роль чувствительности в финансах основана на производных первого и второго порядка.
Область экономики в значительной степени полагается на математический анализ. Действие лекарства, ускорение машин, смена погоды; все основано на концепции исчисления. Исчисление используется везде.
4. Что такое производная от функции?
Производная функции измеряет, насколько чувствительны выходные данные функции к входным данным функции. Дифференциация - это название процесса, в котором выполняется набор шагов для нахождения производной функции.
Эта концепция широко используется в обучении нейронных сетей.
Предположим, что переменная y зависит от переменной x. Например, y может быть скоростью футболиста, пинающего мяч, а x может быть количеством часов, проведенных игроком в тренировочном лагере.
Таким образом, мы можем заключить, что y является функцией x, или y = f (x)
Производная похожа на поиск наклона графика путем бесконечно малых изменений входных данных.
Давайте теперь начнем регистрировать скорость мяча и количество часов, проведенных игроками в тренировочном лагере. Давайте также запишем, являются ли они левыми или правыми, по знаку x: отрицательный знак означает, что игрок левоногий, а знак положения означает, что игрок правоногий:
- Когда x = -4, y = 16.
- Когда x = -3, y = 9
- Когда x = 0, y = 0.
- Когда x = 1, y = 1.
- Когда x = 2, y = 4.
- Когда x = 3,
- Когда x = 10, y = 100
- Когда x = -11, y = 121
Если мы построим диаграмму, где точки y нанесены на ось y, а точки x нанесены на ось x, то мы увидим диаграмму y = x²:
Это также может быть изменение цены продукта при изменении процентной ставки.
Теперь вопрос: как меняется скорость удара футболиста, когда мы увеличиваем или уменьшаем количество тренировочных часов?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно знать скорость изменения или градиента диаграммы.
Мы могли бы выбрать точку на графике (x, y), провести касательную линию к графику и принять нашу скорость изменения как изменение y по сравнению с изменением x. Затем мы повторим это упражнение для всех точек на графике и вычислим среднее значение градиента.
Касательная - это странная линия, имеющая тот же градиент, что и кривая.
Наклон также известен как градиент диаграммы
Это упражнение не только медленное и утомительное, но и неточное. Это потому, что градиент прямой линии такой же, как и любой точки на линии. С другой стороны, мы видим, что приведенная выше кривая меняется, и, следовательно, меняется градиент.
Чтобы уточнить, предположим, что наша функция (x) является сложной и дает следующую диаграмму:
Градиент в точках (x1, y1) и (x2, y2) будет полностью отличаться от градиента в точках (y4, x3) и (x2, y2).
Вместо этого мы могли бы использовать методы исчисления и дифференцирование, чтобы найти мгновенную скорость изменения. Дифференциация позволит нам найти скорость изменения значения y, когда значение x изменяется на очень маленькую единицу. D erivative - это, по сути, нахождение скорости изменения функции при изменении значения x.
Теперь важно отметить, что чем меньше изменение x, тем точнее результаты, но тем медленнее процесс.
Дифференциация помогает нам вычислить производную функции. Производная помогает нам понять, как функция изменяется, когда мы вносим минимальное изменение в значение входных данных. Здесь, когда мы меняем значение x, мы будем называть его «производной функции f по x».
5. Общее правило дифференциации власти
Прежде чем я объясню общее правило мощности, я хочу объяснить концепцию, поскольку она поможет нам решать сложные проблемы в будущем.
Мы поняли, что производная - это все о том, насколько быстро / медленно изменяется выход функции, когда мы меняем вход функции. Следовательно, мы можем начать изменять значение x на 1 единицу и начать наблюдать, как изменяется значение y. Или мы могли бы построить диаграмму и выбрать любую из двух точек на оси x, затем найти значение y и затем вычислить наклон.
Давайте назовем небольшое приращение значения x как Z.
Следовательно, функция f (x) становится: f (x + Z), что означает, что мы добавляем Z к значению x.
Таким образом, градиент равен:
Это известно как коэффициент разности Ньютона.
Формулу общего правила мощности можно использовать для дифференцирования функции и вычисления ее производной.
Если a - целое число, а функция - y = f (x ^ a), то производная функции равна:
Поэтому мы выполнили два шага:
- Умножьте мощность на коэффициент x
- Уменьшите значение мощности на 1
Это известно как правило силы.
Следовательно:
Если f (x) = x², то его производная равна 2x
Это означает, что скорость изменения y в два раза выше, чем скорость изменения x.
Отметим, что квадратичная функция f (x) = x² имеет линейный градиент.
Производная константы равна 0, поскольку скорость изменения константы равна 0.
6. Ключевые производные математические обозначения
Давайте познакомимся с наиболее распространенными математическими обозначениями в мире производных. В каждой последующей статье я буду записывать ключевые символы и их значение:
Дифференциация первого порядка:
Дифференциация второго порядка:
Это просто означает повторение дифференцирования дважды. Дифференциация функции возвращает новую функцию. Дифференцирование второго порядка связано с вычислением производной производной:
7. Пора сделать 4 быстрых производных упражнения
Этот раздел призван закрепить концепции, которые мы узнали выше:
1. Вопрос:
Вычислить производную первого порядка от f (x) = x³
Ответ:
Используя правило мощности:
Мы получаем:
Это возвращает:
2. Вопрос:
Возьмите результат первого упражнения 3x² и вычислите его производную.
Ответ:
Давайте вычислим производную: 3x², используя правило мощности:
Мы получаем:
Затем он становится:
3. Вопрос:
Вычислить производную второго порядка от f (x) = x³
Ответ:
Применение правила мощности дважды дает
Следовательно:
is
Вы заметили, что дифференцирование 2-го порядка числа x³ эквивалентно вычислению дифференцирования первого порядка дважды. Первые два приведенных выше упражнения помогли нам вычислить производную второго порядка функции: f (x) = x³
4. Вопрос:
Рассчитайте значение
Ответ:
Все, что нам нужно сделать, это подставить значение 2 в x.
= 3*2² = 12
8. Наконец, давайте разберемся с цепным правилом.
Предположим, вы хотите узнать скорость изменения инфляции в стране. Вы пришли к выводу, что уровень инфляции, обозначенный как переменная y, зависит от занятости в стране, обозначенной как переменная x.
Следовательно: y = f (x) - инфляция является функцией занятости. Поэтому небольшое изменение x приведет к изменению y.
Вы исследуете дальше и делаете вывод, что занятость в стране зависит от уровня грамотности, переменной z.
Следовательно, x = g (z) - занятость является функцией уровня грамотности, где g используется для обозначения функции. Поэтому небольшое изменение z приведет к изменению x.
Таким образом, вы можете видеть, что уровень инфляции, следовательно, зависит от уровня грамотности.
Мы можем записать это как y = f (g (z)) как y = f (x) и x = g (z). Следовательно, небольшое изменение z приведет к изменению и y.
y = f (g (z)) называется составной функцией.
Это известно как цепное правило.
Производная y по z:
В этой статье я хотел просто обрисовать основы правила цепочки, поскольку я буду объяснять его более подробно в своих последующих статьях.
Резюме
Это первая статья, которая образует цепочку статей, которые я буду писать по математическому анализу. Он был направлен на то, чтобы предоставить краткую историю исчисления, что означает скорость изменения, важность обучения исчислению, какова производная функции, общее правило мощности и обзор ключевых математических обозначений.
Он также представил ряд упражнений на дифференциацию для закрепления концепции и ознакомил с правилом цепочки.
Чтобы получить хорошее представление об интеграции, щелкните эту ссылку:
Надеюсь, это поможет. Дайте мне знать, если у вас есть отзывы.
