Получение PDF-файла распределения Erlang

X1 и X2 - независимые экспоненциальные случайные величины с коэффициентом λ.

X1 ~ EXP (λ)
X2 ~ EXP (λ)

Пусть Y = X1 + X2.

Вопрос: что такое PDF для Y?
Где мы используем распределение Y?

Какой метод мы используем, чтобы найти PDF-файл любого распространения?

👉 Мы находим CDF и дифференцируем его.
(Мы уже много раз использовали эту технику в предыдущих сообщениях.)

Хорошо, тогда давайте найдем CDF для (X1 + X2).

Но нам неизвестен PDF-файл (X1 + X2). Фактически, это именно то, что мы хотим вычислить.

Эммм… мы можем сказать…

∫ PDF(X1+ X2) = ∫ PDF(X1) + ∫ PDF(X2) ???!?!?

Нет, конечно нет.

Если вы это сделаете, сумма PDF-файла (X1 + X2) будет равна 2. (Интеграл любого PDF-файла всегда должен быть равен 1.)

Как мне найти CDF любого дистрибутива, не зная PDF?

Методы, которые мы можем использовать для расчета вероятностей: маргинализация и независимость.

В приведенном выше выводе CDF используются два основных приема.
Один - это маргинализация X1 (чтобы мы могли интегрировать его в 𝒙1), а другой - использование определение независимости: P (𝐗1 + 𝐗2 ≤ 𝒙 | 𝐗1) = P (𝐗1 + 𝐗2 ≤ 𝒙). Эти уловки упрощают вывод и достигают результата в терминах 𝒙.

В чем разница между 𝐗 и 𝒙?

Это математические условности. 𝐗 - стохастический, а 𝒙 - детерминированный. Например, допустим, 𝐗 - это число, которое мы получаем в результате броска кубика. Итак, 𝐗 может принимать любое число в {1,2,3,4,5,6}. Но как только мы бросаем кубик, определяется значение 𝐗. Обозначение 𝐗 = 𝒙 означает, что случайная величина 𝐗 принимает конкретное значение 𝒙.

  • 𝐗 - это случайная переменная, используются заглавные буквы.
  • 𝒙 - определенное (фиксированное) значение, которое может принимать случайная величина. Например, 𝒙1, 𝒙2,…, 𝒙n может быть выборкой, соответствующей случайной величине X.
  • Следовательно, кумулятивная вероятность P (𝐗 ≤ 𝒙) означает вероятность того, что диапазон функции 𝐗 меньше определенного значения 𝒙. 𝒙 может быть любым скаляром, например, 𝐗 ≤ 1, 𝐗 ≤ 2,5, 𝐗 ≤ 888, и т. д.
  • Тильда (~) означает «имеет распределение вероятностей», например, X1 ~ EXP (λ).

Теперь давайте дифференцируем CDF, чтобы получить PDF.

Это распределение Эрланга (2, λ).

Где используется дистрибутив Erlang?

В Пуассоновском процессе со скоростью λ, X1 + X2 будет представлять время, в которое происходит 2-е событие.

В примере с аплодисментами в нашем блоге, если вы получаете хлопки со скоростью λ в единицу времени, время, которое вы ждете, пока не увидите, как ваш первый поклонник хлопает в ладоши, распределяется экспоненциально с частотой λ .

Если вы подождете, пока другие фанаты хлопнут в ладоши еще много единиц времени, вы увидите 0, 1, 2,… фанатов.

Затем используется распределение Эрланга, чтобы ответить на вопрос:

"Как долго мне нужно ждать, прежде чем я увижу, как n фанатов аплодируют мне?"

Ответ - сумма независимых экспоненциально распределенных случайных величин, которая представляет собой распределение Эрланга (n, λ). Распределение Эрланга - это частный случай гамма-распределения. Разница между Erlang и Gamma заключается в том, что в гамма-распределении n может быть нецелым числом.

Упражнение 🔥

а) Какое распределение эквивалентно Erlang (1, λ)?

Легкий. Экспоненциальный.

б) [Теория организации очереди] Вы пошли в Chipotle и встали в очередь с двумя людьми впереди вас. Один обслуживается, а другой ждет. Их время обслуживания S1 и S2 являются независимыми экспоненциальными случайными величинами со средним значением 2 минуты. (Таким образом, средняя скорость обслуживания составляет 0,5 за минуту. Если вас смущает концепция скорость по сравнению со временем, прочтите это, чтобы уточнить.)

Ваше условное время в очереди составляет T = S1 + S2, с учетом состояния системы N = 2.
T распределено по Эрлангу .

Какова вероятность того, что вы будете ждать в очереди более 5 минут?

Давайте подставим λ = 0,5 в CDF, который мы уже получили.

Мне кажется, что вероятность того, что я подожду в Chipotle менее 30%, составляет более 5 минут!

Доктор Богнар из Университета Айовы построил этот калькулятор распределения Эрланга (гамма), который я нашел полезным и красивым: