Два вектора x и y ортогональны, если они перпендикулярны друг другу, т.е. их скалярное произведение равно 0.

Ортонормированные векторы

Если вектор x и вектор y также являются единичными векторами, то они ортонормированы.

Подводя итог, для того чтобы набор векторов был ортогональным:

  1. Они должны быть взаимно перпендикулярны друг другу (под углом 90 градусов друг к другу).

Чтобы набор векторов был ортонормированным:

  1. Они должны быть единичными векторами.
  2. Они должны быть ортогональными.

Свойство ортонормированного вектора

Предположим, что векторы q1, q2, q3, ……., qn являются ортонормированными векторами. потом

Пример

Ортонормированный базис

Набор ортонормированных векторов - это ортонормированный набор, а сформированный из него базис - это ортонормированный базис.

or

Множество всех линейно независимых ортонормированных векторов является ортонормированным базисом.

Ортогональная матрица

Квадратная матрица, столбцы (и строки) которой являются ортонормированными векторами, является ортогональной матрицей.

Другими словами, квадратная матрица, векторы-столбцы (и векторы-строки) взаимно перпендикулярны (и имеют величину, равную 1), будет ортогональной матрицей.

Свойства ортогональной матрицы.

  1. Ортогональная матрица, умноженная на ее транспонирование, равна единичной матрице.

2. Транспонирование и инверсия ортонормированной матрицы равны.

Для любой квадратной матрицы мы знаем, что

и из первого свойства мы знаем, что

так что из обоих фактов мы можем заключить, что

3. Определитель ортогональной матрицы имеет значение +1 или -1.

Чтобы убедиться в этом, найдем определитель квадрата ортогональной матрицы

So if

тогда

Решение системы линейных уравнений, содержащих ортогональную матрицу

Допустим, нам нужно найти решение (вектор x) из следующего уравнения

Мы сделали это ранее с помощью исключения Гаусса. Но если матрица A ортогональна и мы перемножим транспонированную матрицу A с обеих сторон, получим

Вместо выполнения исключения Гаусса вы можете просто перемножить транспонированную матрицу коэффициентов на постоянную матрицу и получить решение.

Матрица Адамара

Квадратная матрица, векторы столбцов (и строк) которой ортогональны (не обязательно ортонормированы), а ее элементы равны только 1 или -1, является матрицей Адамара, названной в честь французского математика Жака Адамара.

Матрицы Адамара используются в обработке сигналов и статистике.

использованная литература

Лекция 17 | MIT 18.06 Линейная алгебра, весна 2005 г.

Жак Адамар

Прочтите Часть 24: Диагонализация и подобие матриц

Посмотреть всю серию можно здесь.

Свяжитесь со мной в LinkedIn.