Что такое скалярный продукт? Это поэлементное умножение, а затем сложение элементов векторов. Ну и что ? Звучит скучно… Но подождите, это еще не все. При свете интуиции Это может стать забавным, и так оно и будет. Может начнем ?
Скалярный продукт можно интерпретировать как награду за сходство векторов.
Когда мы умножаем два вектора и говорим a.b = a_x . б_х + а_у . b_y, что мы на самом деле делаем, так это интерпретируем вознаграждение за их сходство в соответствии с осью x-y.
Но баз для этого пространства бесконечно много, и пара осей x и y — лишь одна из них. Мы можем выбрать единичный вектор в направлении вектора a и вектор, перпендикулярный ему, в качестве базы (мы можем сделать это и для b). В этом случае наша интерпретация их сходства сместилась на:
Итак, что мы можем извлечь из этого? Основная причина та же самая: когда мы рассчитываем произведение, мы вознаграждаем сходство, это вопрос точки зрения, которая меняет обозначения.
Мы видим, что:
Неудивительно, что функция косинуса используется, когда мы говорим о сходстве. Косинус напрямую связан с подобием двух векторов.
- Когда два вектора находятся в одном направлении, угол между ними равен 0 и cos(0) = +1 (поскольку максимальное значение косинуса равно +1, оно максимизирует скалярное произведение вектора, когда они находятся в одном направлении).
- когда они перпендикулярны друг другу и не имеют общего ни одного компонента, угол между ними составляет 90⁰ и cos(90) = 0.
- Когда два вектора направлены в противоположные стороны, угол между ними составляет 180⁰ и cos(180) = -1.
Теорема Пифагора:
Мы можем вывести теорему Пифагора, используя скалярное произведение.
Допустим, у нас есть два вектора a и b, которые перпендикулярны друг другу.
Мы хотим найти длину c. Таким образом, мы обозначим произведение с обеих сторон с помощью c.
a и b перпендикулярны друг другу, поэтому cos(90⁰) = 0
Вот оно! Мы вывели теорему Пифагора, используя скалярное произведение.
Но что, если угол между a и b не равен 90⁰? Выполнение тех же шагов, что и при выводе теоремы Пифагора, но без записи 90⁰ для теты, приведет к:
Это закон косинуса!
(В обычно используемой формуле член 2.|a||b|cos(theta) отрицателен, но в этой форме тета определяется, как показано на следующем рисунке.)