Понимание корреляции и диверсификации
Почему выгодно инвестировать в некоррелированные активы
Корреляция - фундаментальное понятие как в финансах, так и в статистике. Проще говоря, корреляция говорит нам о вероятности того, что две переменные движутся вместе. Высокая корреляция означает, что, когда одна переменная повышается, очень вероятно, что возрастет и другая. Доходность акций подобных компаний, таких как Coke и Pepsi, имеет положительную корреляцию:
Отрицательная корреляция означает противоположное (когда одна переменная растет, другая обычно падает). Акции и казначейские облигации, как правило, имеют отрицательную корреляцию.
Корреляция, равная нулю, означает статистическую независимость. Если две переменные статистически независимы, это означает, что каждая из них не имеет отношения к другой. Если каждый из вас и вашего лучшего друга бросит шестигранный кубик, результаты будут независимыми (независимо от того, насколько ваши мысли объединены).
Дисперсия и неопределенность
Пришло время немного статистики. Дисперсия переменной - это мера того, насколько хорошо она… варьируется. Вы можете представить себе дисперсию, представив игру, в которой вы бросаете перо на землю и пытаетесь предсказать, где оно приземлится. Если в этот день нет ветра (или вы играете в помещении), это довольно просто. Мы знаем, что без порывистого ветра, который беспорядочно развевает его, перо не может уйти слишком далеко. Таким образом, мы можем сказать, что окончательная потенциальная точка приземления пера имеет низкую дисперсию:
Если вам случится уронить перо посреди торнадо, никто не знает, где оно окажется (оно может приземлиться на расстоянии нескольких миль или более). Чрезвычайно большой диапазон потенциальных мест для приземления является примером высокой дисперсии:
Еще один способ думать об этом: низкая дисперсия означает низкую неопределенность, а высокая дисперсия означает высокую неопределенность. Поэтому логично, что там, где это возможно в финансах, науке о данных и в жизни в целом, мы хотим уменьшить дисперсию. Меньшая вариативность означает, что результаты более предсказуемы, планы с меньшей вероятностью сорвутся, и мы с меньшей вероятностью понесем убытки (будь то финансовые или эмоциональные). Таким образом, мы можем тратить меньше времени и ресурсов на страхование, планы на случай непредвиденных обстоятельств и хеджирование.
Диверсификация с низкой корреляцией
Вот тут-то и появляется корреляция (или ее отсутствие). Допустим, у нас есть две нормально распределенные случайные величины, X и Y. Обе имеют среднее значение 0, стандартное отклонение 1 и корреляцию 0 друг с другом. Для ознакомления с нормальным распределением ознакомьтесь с этим сообщением в блоге.
Какое стандартное отклонение среднего двух наших случайных величин? Чтобы понять это, нам нужно ввести несколько математических правил:
- Дисперсия - это квадрат стандартного отклонения (в нашем примере и X, и Y имеют дисперсию 1, поскольку 1² = 1):
Var (X) = Stdev (X) ²
- Когда мы умножаем нормально распределенную случайную величину X на константу W, дисперсия масштабируется на квадрат константы:
Var (W * X) = W² * Var (X)
- Дисперсия суммы двух случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий, если X и Y независимы:
Вар (X + Y) = Вар (X) + Вар (Y)
Получение среднего значения похоже на применение константы 0,5 к каждой случайной величине с последующим суммированием. Таким образом, мы можем объединить два приведенных выше правила, чтобы вычислить дисперсию среднего значения следующим образом:
Var (0,5 * X + 0,5 * Y) = 0,5² * Var (X) + 0,5² * Var (Y)
Круто, теперь мы можем вычислить дисперсию и стандартное отклонение среднего значений X и Y (давайте использовать фактические числа - Var (X) = 1 и Var (Y) = 1):
Var (0,5 * X + 0,5 * Y) = 0,5² * 1 + 0,5² * 1 = 0,25 + 0,25 = 0,5
Чтобы упростить наши обозначения, назовем среднее значение X и Y как A. Мы можем легко вычислить стандартное отклонение A, потому что мы уже знаем его дисперсию:
Stdev (A) = Sqrt (Var (A)) = Sqrt (0,5) = 0,71
Подождите, что случилось? X и Y имеют стандартное отклонение, равное 1, и все же их среднее значение имеет стандартное отклонение 0,71 - среднее значение переменных менее изменчиво, чем сами отдельные переменные. Я хочу выделить здесь два ключевых момента:
- Получение среднего значения во многом похоже на создание портфеля. Здесь мы взяли среднее значение X и Y, умножив каждое на 0,5. Но мы могли бы легко назвать X доходностью акций Apple и Y доходностью акций Google. Тогда мы интерпретировали бы 0,5 как вес. А среднее значение X и Y становится доходностью портфеля, поровну разделенного между акциями Apple и Google. Таким образом, когда мы составляем портфель инвестиций, мы фактически берем средневзвешенное значение их индивидуальной доходности.
- Дисперсия (и стандартное отклонение) среднего значений X и Y ниже, чем их индивидуальные дисперсии. Это происходит потому, что они движутся независимо друг от друга, что диверсифицируется (один зигзаг, а другой зигзаг, так что средние движения группы менее изменчивы, чем движения любого отдельного человека). Еще один способ понять это - Закон больших чисел. Чем больше независимых наблюдений вы сделаете, тем больше вероятность того, что среднее из этих наблюдений будет близко к истинному значению (поэтому среднее значение 100 наблюдений будет иметь меньшую дисперсию, чем среднее значение всего 3 наблюдений).
Важно отметить, что этот эффект возникает только тогда, когда переменные имеют корреляцию меньше 1 (в идеале намного меньше 1). Если две вещи идеально коррелированы, то мы не можем ожидать, что их движения будут диверсифицироваться - скорее, они будут двигаться вместе идеально синхронно (и даже если бы мы усреднили тысячи этих идеально коррелированных переменных, дисперсия была бы не уменьшаются).
Также имейте в виду, что среднее значение двух некоррелированных переменных не всегда будет иметь меньшую дисперсию, чем индивидуальные дисперсии переменных. Когда одна переменная имеет высокую дисперсию, а другая - низкую, дисперсия среднего значения двух переменных будет находиться между двумя индивидуальными дисперсиями. Но из-за диверсификации фактическая дисперсия среднего будет значительно меньше, чем среднее арифметическое дисперсий отдельных переменных.
Мы видели, как стандартное отклонение снизилось с 1 до 0,71, когда мы усреднили две независимые переменные. Что, если у нас будет доступ к большему количеству некоррелированных переменных для добавления в наш портфель? На следующем графике показано, что происходит со стандартным отклонением, когда мы постепенно добавляем больше некоррелированных случайных величин:
Первые несколько добавленных переменных вызывают резкое снижение стандартного отклонения до того, как наступит убывающая отдача. Это ожидаемо - чем больше переменных мы уже включили в наше среднее значение, тем меньше мы должны ожидать, что каждая новая добавленная переменная будет влиять на вещи. Но даже в этом случае мы можем видеть Закон больших чисел в действии - чем больше переменных мы усредняем, тем меньше дисперсия и тем более уверенными мы можем быть. Переключившись на финансирование на секунду, чем больше некоррелированных инвестиций мы сможем найти, тем меньше дисперсия (и стандартное отклонение) доходности нашего портфеля и тем больше мы будем уверены, что не потеряем деньги . Чтобы понять, почему финансовая отрасль использует стандартное отклонение портфеля в качестве показателя риска, ознакомьтесь с моим предыдущим блогом.
Это именно то, что пытаются делать потенциальные хедж-фонды-победители в мире. Они пытаются найти как можно больше некоррелированных потоков доходности, объединить их в портфель, а затем надеются напечатать деньги. Часто все получается не так, как планировалось, но это прекрасный сон.
Практические соображения
Хорошо, теперь, когда мы все взволнованы возможностью найти как можно больше несвязанных инвестиций, которыми можно было бы заполнить наши портфели, мне пора немного рассказать о нашем параде:
- Действительно трудно найти действительно несвязанные инвестиции. И вы хотите, чтобы ваши инвестиции были не только некоррелированными сейчас, но и некоррелированными в условиях экономического кризиса (когда вам действительно нужны преимущества диверсификации) - а их еще труднее найти. В действительности, большинство инвестиций будут, по крайней мере, в некоторой степени коррелированными, а это означает, что их объединение все равно уменьшит дисперсию, но не настолько. С математической точки зрения, чем ниже корреляция между двумя инвестициями, тем больше они диверсифицируются (уравнения см. Здесь). На следующем графике показано, как изменение корреляции между двумя нормально распределенными случайными величинами изменяет стандартное отклонение их среднего значения:
- Классическое рискованное вложение, которым владеет почти каждый, - это акции. Так что было бы здорово найти инвестицию, которая отрицательно коррелирует с акциями, позволяя нам хеджировать их риск (и уменьшать дисперсию нашего общего портфеля). К сожалению, этого хотят все. Таким образом, любые инвестиции, которые демонстрируют отрицательную корреляцию с доходностью акций, такие как казначейские облигации, опционы пут или фьючерсы на VIX, оцениваются с премией и, вероятно, принесут вам низкий или отрицательный доход (эй, страхование никогда не бывает бесплатным ). Казначейские облигации интересны тем, что за последние несколько десятилетий их доходность отрицательно коррелировала с доходностью акций, и они имеют положительную ожидаемую доходность (в отличие от других хеджей, за которые вы должны платить напрямую). Таким образом, распределение основной доли в акции и облигации является стержнем большинства долгосрочных портфелей. Однако отрицательная корреляция не гарантирована - были многолетние периоды (например, 1970-е годы), когда доходность акций и облигаций сильно коррелировала (устойчивое повышение процентных ставок обычно наносило бы ущерб и акциям, и облигациям).
- Это подводит меня к моему заключительному пункту - мы хотим получить положительную доходность портфеля (мы хотим, чтобы среднее значение наших случайных величин было больше нуля как можно чаще). Это означает, что некоррелированные случайные величины с нулевой или отрицательной ожидаемой доходностью для нас бесполезны. Да, добавление их в наш портфель уменьшило бы общую дисперсию, но также уменьшило бы ожидаемую доходность (средневзвешенную), что было бы контрпродуктивным.
Этот пост является третьей частью моего учебника по оптимизации инвестиционного портфеля. Если вы еще этого не сделали, ознакомьтесь с частями 1 и 2:
