В этом посте мы попытаемся понять скалярное произведение. Предыдущие посты этой серии вы можете прочитать здесь: часть 1, часть 2.
Что такое скалярный продукт?
Начнем со стандартного определения скалярного произведения. Мы берем два вектора одинаковой длины и умножаем каждую пару координат. Затем их суммирование дает скалярное произведение двух векторов.
Геометрически скалярное произведение означает, что один из векторов проецируется на линию, на которой лежит другой вектор. Умножение длин спроецированного вектора на другой вектор дает скалярное произведение. Скалярное произведение отрицательно, когда векторы указывают в противоположных направлениях, тогда как оно равно нулю, если векторы перпендикулярны, потому что длина проекции равна нулю.
Но почему этот расчет связан с идеей проекции? Чтобы понять это, давайте взглянем на линейные преобразования из нескольких измерений в одно измерение. Они похожи на функции, принимающие многомерные векторы и выводящие одномерные векторы, то есть просто числа. В части 1 поясняется, что преобразования называются линейными, когда линии сетки остаются параллельными и равномерно расположенными. Точно так же для линейных преобразований в одно измерение, если мы выберем равномерно расположенные точки, они останутся равномерно расположенными.
Мы также видели в Части 1, что преобразования определяются координатами базисных векторов, в данном случае i^ и j^. В случае, когда преобразование происходит из двух измерений в одно измерение, соответствующая матрица имеет размер 1x2.
Чтобы применить это преобразование к вектору, мы умножаем матрицу 1x2 на двумерный вектор. Этот расчет аналогичен скалярному произведению.
Следовательно, мы можем сказать, что существует связь между матрицами 1x2 и двумерными векторами. Но что означает эта ассоциация геометрически?
Чтобы понять геометрический смысл связи между матрицами 1x2 и двумерными векторами, давайте представим, что мы помещаем числовую линию поверх двумерного координатного пространства по диагонали, а число ноль находится в начале координат. Давайте также определим двумерный вектор u^, вершина которого находится там, где стоит единица на числовой прямой. После этого давайте определим проекционное преобразование. Это преобразование является линейным, поскольку равномерно расположенные точки остаются равноотстоящими после преобразования.
Поскольку преобразование является линейным, мы можем представить его в виде матрицы 1x2. Нам нужно найти, где я ^ и j ^ приземляются, и эти числа будут столбцами матрицы.
Поскольку u^, i^ и j^ имеют единичную длину, здесь можно использовать симметрию. Следующие изображения объясняют, как i^приземляется на ux и j^приземляется на uy. Следовательно, элементами матрицы являются координаты u^.
Вычисление этого проекционного преобразования для произвольных векторов вычислительно идентично скалярному произведению с u^. Вот почему скалярное произведение с единичным вектором можно интерпретировать как проецирование вектора на диапазон этого единичного вектора и получение длины.
Урок здесь заключается в том, что каждый раз, когда у вас есть одно из этих линейных преобразований, выходным пространством которых является числовая прямая, будет некоторый уникальный вектор v, соответствующий этому преобразованию в том смысле, что применение преобразования — это то же самое, что и взятие скалярное произведение с этим вектором. Это пример двойственности.
Эта серия представляет собой краткое изложение серии видео под названием Сущность линейной алгебры. Видео можно посмотреть здесь.
Скоро будет четвертая часть :)
