Вступление

Мы [Ирвинг Каплански и Халмос] разделяем философию линейной алгебры: мы думаем без базиса, мы пишем без базиса, но когда чипы не работают, мы закрываем дверь офиса и выполняем вычисления с матрицами вроде ярости ~ Каплански

Линейная алгебра - это раздел математики, в котором основное внимание уделяется линейным преобразованиям векторных пространств и матриц.

Зачем нам изучать линейную алгебру?

Основные концепции базовых алгоритмов, такие как линейная регрессия, поддержка векторной машины и более продвинутые методы глубокого обучения, во многом основаны на линейной алгебре и векторном исчислении.

Прежде чем мы углубимся в линейную алгебру, давайте попробуем понять строительные блоки векторных пространств и матриц.

Строительные блоки

Бинарные операции

Бинарная операция на множестве S - это отображение из S * S в S
Предположим, (x, y) - это упорядоченная пара, тогда изображение обозначается xoy.
например: Деление не является бинарной операцией, почему ?

Бинарная операция o на S ассоциативна, если (x o y) o z = x o (y o z) для всех x, y, z в S

Группа

Группа - это набор S с ассоциативной бинарной операцией на S, такой, что существует единичный элемент, и каждый элемент имеет инверсию.

Кольцо

Кольцо - это множество R с двумя бинарными операциями + и. на R со следующими условиями

* (R, +) - это группа
*. ассоциативно
* x. (y + z) = (xy) + (xz) для всех x, y, z в R,
(y + z) .x = (yx) + (zx ) для всех x, y, z в R

Коммутативное кольцо: если для всех x, y xy = yx

Поле

Поле - это коммутативное кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу при умножении

Векторные пространства

Векторное пространство над полем F - это четверка
(V, +, ', F) t, удовлетворяющая следующим аксиомам: все a, ß принадлежат F, а x, y, z принадлежат V
< br /> I (V, +) - коммутативная группа, т. е.

(a) + - это отображение из V x V в V (мы записываем образ (x, y) как
x + y для удобства) (Замыкание относительно +)

(b) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность +)

© существует элемент 0 из V такой, что x + 0 = 0 + x = x
для всех x принадлежит V (существование 0)

(d) для каждого x в V существует элемент -x в V такой, что
x + (-x) = (-x) + x = 0 (Существование отрицательного числа)

(e) x + y = Y + x (коммутативность +)

II (.) - это отображение из F x V в V (для удобства мы записываем образ (a, x) как a · x
) (Замыкание относительно.)

III a · (ß. x) = (aß). Икс

IV 1· x = x

V (а + ß). x = (a · x) + (ß · x) (Дистрибутивность)

VI a · (x + y) = (a · x) + (a · y) (Дистрибутивность)

Здесь + обозначает сложение векторов, кроме левой части (V), где он
обозначает сложение в F. Элементы V называются векторами, а
элементы F называются скалярами. Само F называется базовым полем векторного пространства.

Пример

Некоторые другие полезные концепции, такие как подпространства, независимость, базис и измерения. Я загрузил свои заметки в блокнот, так как он содержит множество математических символов