Красивые уравнения - это гораздо больше, чем просто искусство!

Вступление:

Сам по себе круг действительно красив, не так ли? Но, проявив любопытство, можно выйти за рамки круга. Для этого не нужны никакие исчисления или какие-либо сложные концепции, просто с помощью нашего любимого класса 10 по математике и с некоторыми прекрасными идеями мы можем выйти за рамки круга и даже создать неравенство Бэтмена. Эта статья о создании неравенств для любых форм, которые мы хотим. Во второй части мы увидим, как мы можем улучшить и обобщить эту структуру и получить часто используемые функции в машинном обучении.

Все визуализации, созданные здесь, создаются в общедоступных программах, таких как Desmos и Geogebra. Я предлагаю читателям пойти дальше и поиграть с этими уравнениями, используя эти инструменты, и исследовать красоту самостоятельно.

Потенциал Круга!

Скромный круг описывает несколько точек, которые находятся на равном расстоянии от данной центральной точки. Давайте посмотрим на нашего знакомого друга во всех его проявлениях. Когда все точки лежат на заданном расстоянии, допустим, 1 единица, мы получаем круг. Точки с расстоянием меньше 1 лежат внутри круга, а точки с расстоянием больше 1 - вне круга. В трехмерном пространстве параболоид с уравнением z = x² + y² – 1 образует наш круг, когда он пересекает плоскость XY.

Все мы знаем, что круг обычно имеет форму x² + y² = 1. Как вы думаете, что произойдет, если мы выйдем за пределы силы двойки? В этом и заключается магия. Давайте возьмем значения от 2 до 10 и посмотрим, что произойдет.

Для четных степеней мы видим, что круг начинает выглядеть как квадрат, и он действительно становится одним при бесконечной мощности. Но почему так происходит, особенно при четных мощностях? Сначала мы попытаемся понять, как ведут себя точки, лежащие на кривой (x ^ n + y ^ n = 1), а затем рассмотрим природу и свойства точек внутри кривой (x ^ n + y ^ n ‹= 1) .

Давайте сначала разберемся со странными силами. Если степень нечетная и, скажем, x отрицательно, то результат члена x ^ n также отрицательный, таким образом, член y ^ n принимает значение больше 1, так что сумма остается равной 1. Для больших степеней разность 2 цифры становятся незначительными с увеличением мощности. Давайте возьмем пример, если x⁵ равно -100 000, тогда значение y⁵ должно быть 100 001, чтобы удовлетворить уравнению. Но мы строим графики x и y, поэтому значения x и y, которые оправдывают уравнение, равны (-10, 10.0000199 ..). Это очень близко к линии y = -x. Это также применимо для случая с отрицательным y и положительным x. Также обратите внимание, что чем выше мощность, тем меньше отклонение от y = -x. Это невозможно при отрицательных значениях y и x, поэтому мы не видим часть функции в этом квадранте. Когда оба x и y положительны, мы видим что-то вроде части квадрата. Это потому, что если x значительно меньше 1, например 0,7, то x⁵ очень быстро становится очень маленьким (здесь 0,168). Таким образом, y⁵ должно быть 1-x⁵, что составляет 0,832, что означает, что y будет очень близко к 1, но немного меньше (0,9638) здесь. Та же логика применима и наоборот. Таким образом, для значений x, отличных от 1, y принимает значения, близкие к 1 (например, горизонтальный край), а для значений x, близких к 1, y быстро падает до 0 (как вертикальный край). Это делает кривую похожей на часть квадрата. Это можно увидеть ниже:

Когда понятны нечетные силы, становится намного легче понять четные силы. Случай отрицательных значений теперь не существует, поэтому вся функция выглядит как квадрат во всех квадрантах. Это можно увидеть ниже. Это то, на чем мы сосредоточимся в дальнейшем.

Наконец, круг и квадрат не противоречат друг другу и уравняли свои силы. В надежде, что вы согласитесь с этими идеями, и сомнения не окружают вас, мы возвращаемся к математике, не срезая углы.

Ждать!!! В запасе математики еще много осталось. Мы также умеем сдвигать координаты. Вычитание слева и сложение справа. Таким образом, мы можем не только создать квадрат, но и расположить его в любом месте. Не только это, но мы также можем изменить масштаб и, таким образом, растянуть квадрат и превратить его в прямоугольник. Давай попробуем:

К настоящему времени некоторые из вас, знакомые с более глубокой математикой, смогут увидеть, как это связано с идеями Расстояние Минковского и F-норма, но мы оставим их на будущее.

За пределами кругов

Выходя за рамки кругов и прямоугольников, мы должны взглянуть на эти графики несколько иначе. На этот раз мы посмотрим с точки зрения неравенств для точек на кривой, сумма которых меньше 1. Если сумма двух положительных чисел меньше 1, то оба числа должны быть меньше 1. Точно так же, если их много. таких слагаемых, то все они должны быть как можно меньше, чтобы сумма никогда не превышала 1. Даже если одно из слагаемых больше 1, неравенство не будет выполняться. Разве это не похоже на идею пересечения? Выбранные точки должны лежать во всех наборах (т.е. все неравенства должны давать значения, близкие к 0), если они не входят ни в один из наборов, то они не выбираются (даже если один из членов больше 1, тогда неравенство не выполняется. правда). Таким образом, квадраты, сделанные выше, можно рассматривать как область пересечения двух членов, x ^ (2n) ‹1 и y ^ (2n)‹ 1 (называемых канавками из-за их формы), как показано ниже. Чем выше значение n, тем меньше членов.

И вот мы сделали огромный шаг. Мы можем создавать очень сложные фигуры, которые появляются из таких пересечений, и выводить наши дизайнерские навыки на новый уровень.

Мы можем вернуть наш график, просто сделав z = 1:

Давайте попробуем эту стратегию на чем-нибудь простом:

Помните, что в траншеях, которые мы делаем, стены находятся в следующих положениях: y - f (x) = 1 и y - f (x) = -1. Это связано с тем, что все абсолютные значения ниже 1 стремятся к нулю, таким образом, являются частью траншеи, тогда как все абсолютные значения больше единицы очень быстро растут, образуя стены. Итак, мы можем использовать траншеи, показанные ниже.

Теперь мы полностью готовы к созданию символа Бэтмена и покрыть более половины пути. Стратегия состоит не только в пересечении, но и в удалении областей из кривой, чтобы вырезать форму. Для этого нужно брать кривые одну за другой и уточнять их и позиционировать, чтобы они соответствовали форме. В некоторых местах кривые пришлось перевернуть, т.е. область больше 1 нужно было сделать меньше 1 и наоборот. Это было сделано путем изменения знака мощности кривых. Обратите внимание, что эту стратегию можно применить ко многим фигурам. Все эти кривые имеют свойство быть больше 1 с одной стороны (от символа) и меньше 1 с другой (относительно символа). Таким образом, каждая секция имеет свою собственную кривую, которая затем комбинируется с использованием суммы больших четных степеней, как описано ранее.

Были использованы следующие выражения (выбранные по форме кривой):

  • f1 (x, y) :( 0.5 (x-1.16) ^ (2.8)) ^ (2) + (y + 1.6): нижний край правого крыла
  • f2 (x, y) :( 0.5 (x + 1.16) ^ (2.8)) ^ (2) + (y + 1.6): нижний край левого крыла
  • f3 (x, y) :( 0.5 (y + 1.6)) ^ (8) + (x + 3): левый край левого крыла
  • f4 (x, y) :( 0.5 (y + 1.6)) ^ (8) + (- x + 3): правый край правого крыла
  • f5 (x, y): y + 0.6: верхняя горизонтальная линия
  • f6 (x, y) :( 3 (x + 0.45)) ^ (14) -y + 1: левая кривая между головой и крылом
  • f7 (x, y) :( 3 (x-0.45)) ^ (14) -y + 1: правая кривая между головой и крылом
  • f8 (x, y): e ^ ((3 (y-0.1) -258.18 ((1.9x + 0.1) (1.9x-0.1)) ^ (1.6))): формирует голову и уши

При объединении всех этих кривых получается следующий рисунок:

Чтобы удалить лишние биты, функция очищается путем добавления еще одного члена, который дает значения, близкие к 0, возле желаемой формы и значения больше 1 в местах, которые нам не нужны. Это дает окончательную цифру как:

Мы можем идентифицировать все части кривой по отдельности, как показано ниже:

Заключение и что будет дальше

Мы только что получили глубокое понимание кругов и подобных неравенств с высокими четными степенями. Мы поняли, почему они ведут себя как перекресток неравенства, и справились с этим, создав свое собственное неравенство с бэтменом. Все невозможно, пока это кто-то не сделает. Ну, уравнение Бэтмена было создано около десяти лет назад, поэтому мы попробовали свои силы в Batman Inequation. Но нам все еще приходилось иметь дело с большими полномочиями, приходилось сокращать нашу фигуру, и процесс все еще казался сложным. Вторая часть этого блога устранит все эти проблемы и все упростит. Он также объяснит, как эти идеи актуальны в машинном обучении в форме Softmax (наш друг по классификации), Softplus (хорошо известная функция активации), log-sum-exp (часто используемая функция и отец Softmax) и других связанных направлениях. .

Математика самая сложная непосредственно перед подачей заявки. И я вам обещаю, приложение идет!

использованная литература

[1] Дж. Гровер, Дифференцируемые операции над множеством алгебраических выражений (2019); Символические вычисления Arxiv.

[2] К. Кендинг, Одиночные уравнения могут рисовать картинки (1991). Журнал математики колледжа 22.2: 134–139.