В прошлый раз мы остановились на представлении линейных процессов в терминах оператора обратного сдвига:
где Psi - многочлен такой, что
, и мы сказали, что это представление будет полезно позже, особенно при работе с моделями ARMA, ARIMA и SARIMA. На этот раз мы продолжим изучение некоторых важных свойств и концепций, связанных с линейными процессами. Начнем с простого, но наглядного примера!
MA(p)
Как вы, возможно, догадались из процесса MA (1), MA (p) - это просто обобщение перехода на p-шагов назад во времени, собирающего прошлый шум как средневзвешенное значение. Действительно, мы можем написать
то есть у нас есть это
. Не так уж и сложно а! Позже мы увидим больше примеров линейных процессов.
Подробнее Коши-Швартс
Ну вот и снова. Угадайте, почему следующее утверждение верно?
Не слишком беспокойтесь, чтобы понять, почему это так, но для любопытных: и оператор ожидания, и абсолютное значение можно рассматривать как нормы из пространств внутреннего произведения L1 и вероятности соответственно, так что мы можем применить Коши-Шварца. снова и снова. Если все это не имело смысла, не беспокойтесь об этом. Однако, если вы хотите понять, о чем я говорю, посмотрите мои приложения Обзор линейной алгебры и Обзор вероятностей, в которых я собрал множество этих концепций, теорем и определений.
Теорема Вольда о представлении
где
представляет собой бесконечное скользящее среднее шумовых условий, удовлетворяющее
Так что же говорит теорема Вольда о представлении? Если у нас есть любой стационарный ряд, то мы можем разделить его на линейный процесс и бесконечное скользящее среднее, где оба они содержат разные члены. Почему это важно? Следствием этого является то, что каждый слабо стационарный процесс второго порядка является либо линейным процессом, либо может быть преобразован в таковой путем вычитания детерминированной составляющей!
Автоковариационная функция линейных процессов.
Чем все это полезно? Вспомните определение автоковариационной функции для стационарного ряда:
Оказывается, учитывая характер линейных процессов, мы можем обобщить вид его автоковариационной функции! Итак, любой процесс, который является линейным, будет иметь одну форму ACVF. Довольно удобно! Правильно?
где
Давайте поймем, о чем это говорит: третье уравнение говорит, что Y_ {t} - линейный процесс. Затем у нас есть, что X_ {t}, который состоит из взвешенной суммы Y_ {t}, является также линейным процессом, и, кроме того, мы знаем форму его ACVF. Откуда нам это знать? Мы можем просто вывести это из определения!
Это следует просто путем простого переупорядочивания и того факта, что мы можем поменять местами математическое ожидание и суммирование, поскольку наши ряды суммируемы по определению.
А как насчет того, чтобы Y_ {t} тоже был белым шумом? Так все становится намного проще! В таком случае мы имеем
Так что, если мы знаем, каковы коэффициенты psi, все, что нам нужно сделать, это подключить их, и все готово! Итак, почему это так?
Пример
Давайте теперь посмотрим, как мы можем использовать это на примере.
Получение ACVF процесса AR (1)
Предположим, что X_ {t} - процесс AR (1), т. Е.
где X_ {t} и Z_ {t} независимы в любой момент времени. Тогда X_ {t} - линейный процесс, и его можно записать как
где
удовлетворение
Поскольку {Z_ {t}} - стационарный процесс (белый шум стационарен!), То X_ {t} также стационарен, и мы можем легко найти его ACVF, используя формулу, описанную ранее!
и вы можете убедиться, что это та же формула, которую мы вывели в начале серии в разделе AR (1).
В следующий раз
На сегодня все! В следующий раз мы кратко рассмотрим операторов, которые мы видели до сих пор, так как мы немного отойдем в сторону и рассмотрим некоторые важные операторы, которые мы видели до сих пор, а также пример того, как они будут полезны.
Последний раз
Главная страница
Следуй за мной в
- Https://blog.jairparraml.com/
- Https://www.linkedin.com/in/hair-parra-526ba19b/
- Https://github.com/JairParra
- Https://medium.com/@hair.parra
