Понимание оптимизации портфеля
Разработайте концептуальное понимание того, что означает оптимизация портфеля
Примечание редакторам Data Science. Хотя мы разрешаем независимым авторам публиковать статьи в соответствии с нашими правилами и рекомендациями, мы не поддерживаем вклад каждого автора. Не следует полагаться на работы автора без консультации с профессионалами. См. Подробности в наших Условиях для читателей.
Количественное финансирование (по крайней мере, со стороны управления портфелем) - это поиск оптимальных портфелей. Для заданного уровня риска мы хотим быть уверены, что получаем максимально возможную прибыль.
В количественных финансах риск рассматривается как ресурс. Подвергая свой портфель риску, вы со временем получите прибыль. Другими словами, ожидаемая доходность - это компенсация, которую мы получаем в обмен на принятие неопределенности (неопределенность в отношении инфляции, экономики и т. Д.).
Следует помнить о нескольких вещах:
- Риск и неопределенность в отношении доходности инвестиций традиционно выражаются стандартным отклонением (также известной как волатильность) его исторической доходности.
- Между риском и доходностью существует приблизительная и положительная взаимосвязь. Чем более волатильным является актив, тем выше обычно была его историческая доходность.
- Однако это не всегда так. Есть некоторые активы с высокой волатильностью, реальная доходность которых была невысокой по сравнению с доходами других активов с такой же волатильностью. Одна из возможных причин более низкой доходности заключается в том, что эти активы имеют ценность по другим причинам, например, из-за низкой корреляции с фондовым рынком. Инвестиции, которые совершают резкий скачок, когда фондовые рынки падают (и предлагают положительную ожидаемую доходность), очень востребованы из-за их способности хеджировать.
Я подробно рассмотрел инвестиционный риск в следующем посте, поэтому, если вы хотите углубиться, прочтите его:
Аналогия для понимания оптимизации портфеля
Если бы у вас был всего один день на поездку в Токио (вы никогда не были там раньше) и вам нужно было составить маршрут на этот день, как бы вы это сделали? Скорее всего, вы начнете со списка возможных занятий. Затем вы должны выбрать четыре или пять занятий, которые могут оказаться самыми интересными.
Но, будучи незнакомым с Токио, вы беспокоитесь, что можете попробовать какое-нибудь занятие, и оно вам не понравится - это будет пустой тратой вашего драгоценного времени. Но вы также хотите попробовать что-то новое. Делать то, что вы уже делаете дома (например, читать в кафе), - это отчасти весело, но не может быть очень веселым. Делать что-то совершенно новое может быть очень весело, но может оказаться и ужасным.
Таким образом, для каждого действия вам необходимо учитывать не только то, насколько оно потенциально может быть интересным (ожидаемая доходность), но и риск того, что оно окажется не очень интересным (неопределенность).
Вы также можете выбрать занятия, которые не связаны друг с другом. Потому что, если вы в конечном итоге будете заниматься одним и тем же видом деятельности снова и снова и обнаружите, что на самом деле это совсем не весело, то ваш день будет испорчен. Таким образом, наличие разнообразных видов деятельности повышает вероятность того, что вы в конечном итоге получите удовольствие.
Таким образом, мы можем резюмировать процесс создания вашего маршрута следующим образом: вы хотите создать корзину мероприятий, которая максимизирует количество удовольствия, которое вы, вероятно, получите с учетом вашей личной терпимости к риску (ваше личное желание новых опыты по сравнению со знакомыми).
И то, как вы оцениваете и сравниваете одно действие с другим, выглядит следующим образом:
- Взвесьте каждое действие отдельно с точки зрения его потенциала для развлечения по сравнению с тем, насколько вы не уверены в своей оценке его полезности.
- Сопоставьте каждое действие с другими, чтобы убедиться, что у вас есть разные типы занятий (диверсификация). Например, вы не хотите, чтобы каждое занятие было связано с едой (если вы обнаружите, что не любите японскую кухню). К тому же, чем больше вы едите и чем больше вы насыщаетесь, тем меньше удовольствия вы получите от следующего приема пищи. Другими словами, вы хотите, чтобы корреляция между занятиями была низкой, чтобы выполнение одного действия не влияло на ваше удовольствие от следующего.
Когда вы закончите, если вы приложите некоторые усилия, вы, вероятно, поверите, что ваш окончательный список максимизирует вашу вероятность весело провести день.
И это в двух словах - оптимизация портфеля -
При заданном уровне риска мы хотим максимизировать вероятность получения положительного дохода от нашего портфеля.
И мы делаем это, анализируя финансовые активы так же, как мы делали это в отношении деятельности:
- Взвешивая ожидаемую доходность и волатильность (помните, что волатильность - это то, как мы оцениваем риск). Чем выше ожидаемая доходность относительно волатильности, тем больше мы уверены, что доходность инвестиций будет положительной с течением времени.
- Путем рассмотрения корреляции между доходностью активов. При прочих равных мы хотим, чтобы активы были как можно более некоррелированными. Это максимизирует выгоды от диверсификации. В следующем разделе подробно рассказывается, почему мы заботимся о диверсификации.
Преимущества диверсификации
Диверсификацию иногда называют единственным бесплатным обедом в экономике и финансах. Чтобы понять, почему, давайте рассмотрим пример.
Если мы владеем акциями на 100 долларов, которые, как ожидается, принесут 10% в течение следующего года, то наша ожидаемая доходность составит 10 долларов. Если мы добавим еще 100 долларов другой акции, ожидаемая доходность которой также составляет 10%, то доходность нашего портфеля в 200 долларов теперь удвоится и составит 20 долларов.
Случай, когда корреляция = 1
Риск портфеля (стандартное отклонение) портфеля из двух активов можно рассчитать как:
stdev = sqrt(w1^2*stdev1^2 + w2^2*stdev2^2 + 2*w1*w2*p*stdev1*stdev2) where w1 is weight of stock 1 w2 is weight of stock 2 stdev1 is standard deviation of stock 1 stdev2 is standard deviation of stock 2 p is correlation between stock 1 and stock 2
Допустим, обе акции в нашем портфеле имеют стандартное отклонение 10%.
Итак, когда у нас было всего 100 долларов, вложенных в одну акцию, риск нашего портфеля составлял 100 долларов * 10% = 10 долларов. Это означает, что мы ожидаем, что наша прибыль составит 10 долларов, но вокруг этого есть конус неопределенности.
Ширина конуса неопределенности описывается его сигмой (также известное как стандартное отклонение). В этом случае сигма равна 10 долларам. Чем больше сигма, тем меньше мы можем быть уверены в доходности нашего портфеля в конкретный год (и тем шире будут колебания стоимости нашего портфеля).
Если вы не знакомы с нормальным распределением и его параметрами, ознакомьтесь с публикацией ниже:
И давайте также предположим, что две акции движутся точно синхронно (это означает, что их корреляция равна 1,0). Мы можем рассчитать риск нашего портфеля, используя формулу выше:
stdev = sqrt(w1^2*stdev1^2 + w2^2*stdev2^2 + 2*w1*w2*p*stdev1*stdev2) Portfolio Risk = sqrt(0.5^2*0.1^2 + 0.5^2*0.1^2 + 2*0.5*0.5*1*0.1*0.1) = 0.1
Таким образом, риск нашего портфеля из двух акций по-прежнему составляет 10%. В долларовом выражении наша сигма теперь составляет 200 долларов * 10% = 20 долларов. Таким образом, мы перешли от портфеля на 100 долларов с ожидаемой доходностью 10 долларов и сигмой 10 долларов к портфелю на 200 долларов с ожидаемой доходностью 20 долларов и сигмой 20 долларов. (Я использую сигму и риск как синонимы)
Так что практически ничего не изменилось. Если бы мы просто удвоили наши запасы в акции 1 (вместо покупки акции 2), мы бы достигли того же точного результата. Это из-за нашего предположения, что акции 1 и 2 идеально коррелируют (p = 1). Так что владение одним или обоими - одно и то же.
Теперь посмотрим, что произойдет, если акции 1 и 2 не коррелируют.
Случай, когда корреляция = 0
Ожидаемая доходность нашего портфеля в 200 долларов остается 20 долларов США. Но теперь наш риск:
stdev = sqrt(w1^2*stdev1^2 + w2^2*stdev2^2 + 2*w1*w2*p*stdev1*stdev2) Since p=0, the third term drops out! Portfolio Risk = sqrt(0.5^2*0.1^2 + 0.5^2*0.1^2 + 2*0.5*0.5*0*0.1*0.1) = 0.0707
Риск нашего портфеля снизился до 7,1%. Это означает, что в долларовом выражении наш портфель на 200 долларов имеет сигму (иначе говоря, риск) в 14,14 доллара, что значительно ниже, чем наша предыдущая сигма в 20 долларов.
Таким образом, по сравнению как с идеально коррелированным случаем, так и с удержанием 200 долларов в случаях с акцией 1, мы смогли снизить наш риск почти на треть, сохранив при этом ожидаемую доходность! Действительно бесплатный обед.
Очевидно, это стилизованный пример. На самом деле довольно сложно найти группу полностью несвязанных активов, все из которых имеют высокую ожидаемую доходность. Для более глубокого обсуждения корреляции и диверсификации вы можете прочитать мой предыдущий блог об этом ниже:
Оптимальный портфель
Таким образом, оптимальный портфель - это тот, который объединяет активы-кандидаты таким образом, чтобы при заданном уровне риска вероятность того, что портфель принесет положительную доходность, максимальна.
Почему при заданном уровне риска? Если бы единственное, что мы хотели сделать, - это максимизировать вероятность получения положительной прибыли, мы могли бы просто инвестировать в активы со сверхнизким риском, такие как фонды денежного рынка. Технически мы практически гарантированно зарабатываем деньги, но это будет всего несколько копеек. Помните, что вам нужно пойти на некоторый риск, чтобы получить прибыль.
Скорее, мы хотим быть уверены (насколько это возможно) в том, что для определенного уровня риска мы инвестируем в портфель, который максимизирует наши шансы на получение положительной прибыли. Портфель, который делает это, также известный как оптимальный портфель, - это портфель с наивысшей ожидаемой доходностью (или, с точки зрения статистики, с наивысшим Z-баллом).
Итак, задача оптимизации, которую нам нужно решить:
For a given level of risk, solve for the weights, W, that: Maximize W.T @ E Subject to: W.T @ Cov @ W = (target risk)^2 and sum(W) = 1 Where W is a vector representing the weights of the asset in our portfolio. E is a vector representing the expected returns of the asset. Cov is the covariance matrix of the asset's returns. @ denotes matrix multiplication. .T denotes the transpose operation.
Говоря простым языком, мы хотим максимизировать ожидаемую доходность (W.T @ E) при соблюдении следующих условий:
- Дисперсия портфеля (W.T @ Cov @ W) равна целевой дисперсии. Помните, что дисперсия - это квадрат риска (поскольку риск равен стандартному отклонению). Итак, это ограничение, которое приводит нас к указанной цели риска.
- Сумма веса равна 1. В этом случае мы допускаем шорты (отрицательный вес). Если нам не нужны отрицательные веса, нам нужно будет добавить дополнительное ограничение. Если бы у нас не было этого условия, оптимизация взорвалась бы или выплюнула бы тарабарщину.
Мы можем решить это одним из двух способов - с помощью оптимизатора или аналитически. Самое замечательное в оптимизации портфеля с использованием коротких позиций - это то, что у нее есть аналитическое решение, которое мы можем реализовать с помощью некоторой матричной алгебры.
До скорого
И это все для этой статьи. Я уже написал код для аналитического запуска оптимизации. Но я хотел сохранить эту статью на концептуальном уровне. Код и примеры скоро появятся в следующем посте! А пока ура!
Следующая часть:
