Очерки логики

Логика, интуиция и парадокс

AI со времен Аристотеля (Часть 1)

Время от времени мы будем видеть последние новости об искусственном интеллекте (ИИ), дисциплине автоматизации нашего мышления. Не так давно появились новости о том, что [людям] больше не нужно доказывать математические теоремы! Со ссылкой на статью Google 2019 года (Bansal et al., 2019) об использовании ИИ для доказательства математических вычислений. теоремы. Эта новость подразумевает, что ИИ в конечном итоге заменит математиков.

Идея замены математиков ИИ была приписана изучению логики, которое можно проследить двадцать пять веков назад до Аристотеля, который определил интуицию и логику как два аспекта разума, которые обретают знания. Однако до компьютера логика стала предпочтительнее интуиции из-за ее строгости и определенности, что позволяет формально изучать и в конечном итоге автоматизировать логические рассуждения. Компьютер стал результатом более чем двухтысячелетнего движения по расширению границ логического мышления, которое привело к автоматическому логическому мышлению без человеческого разума. Однако оказалось, что логических рассуждений, как и их автоматизации, недостаточно, и поэтому интуиция необходима для математики. Как это ни парадоксально, но после того, как мы узнали о границах логических рассуждений, мы создали новый инструмент - компьютер, чтобы использовать нашу интуицию. История прошла полный круг от аристотелистов, стремящихся сделать математику настолько бессмысленной, чтобы это могло быть сделано машинами, до платоников, задающихся вопросом, могут ли машины действительно понимать значение математики, как это делаем мы.

Среди многих областей исследований ИИ, ИИ, заменяющий математиков, который фактически является ИИ перед компьютером, занимает особое и высшее место, потому что его усилия и неудачи привели к изобретению компьютера. Пересмотр того, как современный ИИ может заменить математиков, может помочь нам найти последний недостающий фрагмент головоломки или то, как математики думают, что можно применить ко всем формам развития знаний, включая сам ИИ. Среди опасений, что злонамеренный ИИ отражает нашу темную сторону, было бы приятно увидеть, сможет ли ИИ подражать лучшим из нас: великим математикам, ученым и мыслителям.

Само по себе изучение ума - это референция на себя, которая часто приводит к парадоксам. В этой статье я часто использую слово «парадоксальный» не потому, что мне не хватает слов, чтобы описать, насколько удивительна и непредсказуема эта история, а потому, что каждая ее часть буквально связана с парадоксом, который является повторяющейся темой и агентом научных исследований. продвижение.

Как убить андроид?

В одном из эпизодов StarTrek капитан Кирк встречает группу андроидов-мошенников, которые сбивают весь экипаж звездолета Enterprise и планируют уничтожить все человечество, потому что они логически верят, что люди являются причиной всех проблем во вселенной. Чтобы победить такого могущественного врага, Кирк планирует использовать «дикую и иррациональную логику» как мощное оружие. Наконец, лидер андроидов, Норман, был уничтожен самой дикой и самой иррациональной логикой из всех, парадоксом лжеца.

Кирк говорит, что все, что говорит мошенник, Мадд, является ложью, и Мадд говорит Норману: «А теперь послушай это внимательно, Норман. Я лгу." Пытаясь разрешить парадокс, Норман курит и разбивается; таким образом мы видим смерть андроида. Парадокс лжеца можно проиллюстрировать следующей картинкой:

Парадокс исходит из того, что «это предложение» относится ко всему предложению, частью которого является «это предложение». Если мы предполагаем, что то, что говорится в предложении, является истинным, тогда предложение ложно, поскольку это то, что в нем говорится. Это противоречит нашему предположению. С другой стороны, если то, что говорится в утверждении, ложно, то противоположное тому, что в нем говорится, должно быть истинным, что означает, что это утверждение истинно, что является еще одним противоречием.

Парадокс - злейший враг логики. Посмотрите, как это вызывает кончину Нормана, который изображается как строго следящий за логикой. Фактически, логический мозг Нормана столкнулся бы с типом парадокса референции, подобного парадоксу лжеца, если бы он задумывался над вопросами о себе. Норман метафорически отражает то, как математики противостоят ссылкам на себя и вытекающим из них парадоксам.

Аристотель: сила логики

Аристотель, греческий философ и эрудит (384–322 до н.э.), был отцом логики, который изучал, как мы рационально рассуждаем формальным образом, вместо того, чтобы исследовать его от случая к случаю. Он рассматривал логические рассуждения независимо от контекстов, в которых они могли быть применены. Например: «Все люди смертны. Сократ - мужчина. Следовательно, Сократ смертен », - это приложение силлогизма« Все A суть B. Все C равны A. Следовательно, все C - это B », в котором A, B и C переменные, которые могут представлять что угодно в реальности. Учитывая правдивость посылок, должна быть уверена правдивость логического результата. Студент, изучающий логику, мог бы использовать силу логики, чтобы облегчить бремя ума. Такова сила формальности, отделяющая контексты от структуры логических рассуждений.

Однако невозможно доказать истинность посылок, не впадая в бесконечный регресс. Таким образом, Аристотель установил теорию, согласно которой интуиция дала нам аксиомы, самоочевидную истину в качестве исходных предпосылок, правила логики и другие первые принципы. Остальные истины должны были быть либо собраны индуктивно, либо выведены дедуктивно или логически, и он непропорционально большую часть своих усилий посвятил последнему. Он вдохновил поколения мыслителей трансформировать логические рассуждения в уме в манипуляции с символами с помощью карандаша и бумаги и, в конечном итоге, в вычисления с использованием компьютера.

Евклид: демонстрация логики

На воротах платоновской академии была знаменитая надпись:

Не позволяйте входить сюда тем, кто не разбирается в геометрии.

Ученики Аристотеля могут обнаружить, что логика эмпирически работает в реальных аргументах, но победа в споре не обязательно означает отстаивание истины. Как насчет того, чтобы существовали самоочевидные истины, известные как аксиомы, отобранные и отождествленные с интуицией, из которых можно было бы выводить дальнейшие истины в соответствии с логическими рассуждениями? Евклид, греческий математик 325–270 до н.э., продемонстрировал, что известные геометрические знания можно систематически объяснять с помощью логики Аристотеля в его вневременном и бесподобном Элементе. Он не только установил дисциплину геометрии, но и продемонстрировал основы развития знаний на основе логических рассуждений. У этой структуры есть проблемы:

  1. Как мы идентифицируем самоочевидные истины как аксиомы?
  2. Как мы можем быть уверены, что аксиомы не используют производные истины, вызывая круговые или самореферентные аргументы?

С одной стороны, Евклид успешно показал, что сила логики может быть использована для демонстрации всех известных геометрических истин до того времени. С другой стороны, будучи способным логически организовать все ранее открытые истины, он также отразил великолепие интуиции, исход которой оказался «логичным».

Эта логическая основа для математического развития позже столкнулась с препятствиями. Во-первых, аксиомы не всегда соответствуют действительности. Например, было обнаружено, что аксиомы евклидовой геометрии не работают для физического пространства в космическом масштабе, где пространство искривлено гравитацией в соответствии с общей теорией относительности Альберта Эйнштейна. Во-вторых, математики будут задушены ссылками на себя, несмотря на попытки их избежать.

Лейбниц: логика как расчет

Двумя тысячелетиями позже Аристотеля и Евклида, Готфрид Вильгельм (фон) Лейбниц 1646–1716, немецкий эрудит и большой поклонник аристотелевской логики, изобрел исчисление вместе с Ньютоном. Во времена Лейбница стал развиваться способ заниматься математикой, манипулируя символами вместо чисел в алгебраических выражениях. Нам больше не нужно перечислять каждое число изменяющейся величины, например расстояние до движущегося объекта, которое вместо этого может быть представлено в виде алгебраического выражения.

Лейбниц рассматривал проблемы нахождения скорости на разных расстояниях и / или расстояния на разных скоростях. Чтобы вычислить скорость в любой момент времени, нам нужно разделить бесконечно малое изменение расстояния на бесконечно малое изменение во времени. Точно так же для расстояния нам нужно накапливать каждое бесконечно малое изменение расстояния, умножая скорость на бесконечно малое изменение во времени. Первый расчет называется дифференциацией, а второй - интегрированием. В любом случае нам нужно использовать метод под названием limit process, чтобы определить точное выражение, когда бесконечно малое количество произвольно близко к нулю (но не к нулю).

Левые части двух приведенных выше уравнений являются символами Лейбница для дифференцирования и интегрирования соответственно. Их использование значительно упростило изучение и понимание расчетов по сравнению с применением предельных процессов. Идея бесконечно малых величин, то есть что-то почти нулевое, но не нулевое, возникла в результате идей Лейбница, но позже была заменена более строгим определением. Лейбниц показал отличный пример того, как интуиция работает разведчиком или исследователем, расширяя границы познания.

Лейбниц обнаружил, что его дифференциальные и интегральные символы отличались от других символов для представления произвольных величин тем, что они имели особое значение, которое эффективно работало. Это открытие дало ему идею набора символов или «алфавита» и результирующего языка для представления аристотелевской логики. Он предполагал, что это новое логическое исчисление будет преобразовывать логические рассуждения в расчет.

Логика: логика как алгебра

Джордж Буль, английский математик, 1815–1864 гг., Который следовал видению Лейбница, обнаружил, что логика может быть представлена ​​как особый вид алгебры, называемый булевой алгеброй. Он использовал алгебраические переменные для тех, которые Аристотель использовал для представления предложений в логике. Логическая переменная принимает в качестве значений только 0 и 1, где 1 означает ИСТИНА, а 0 означает ЛОЖЬ. Аналогично, алгебраические операции «сложение» и «умножение» представляют собой логические «ИЛИ» и «И» соответственно. Логическая переменная x относится к предлогу или классу, и мы имеем x² = x, x +1 = 1. Если взять в качестве примера «Все люди смертны», если мы используем x для обозначения всех людей и y для обозначения смертных, тогда приведенное выше предложение может быть показано как xy = x. Булева алгебра превратила логику в раздел математики, сделав еще один шаг ближе к осуществлению мечты Лейбница о «логике как вычислении». Сегодня булева алгебра лежит в основе работы современных компьютеров.

Фреге: трещина в основании

Вместо того чтобы сделать логику ветвью математики, Готлоб Фреге, немецкий математик 1848–1925 гг., Избрал противоположный подход, превратив математику в разные разделы логики, которые он считал более фундаментальными, чем математика. Итак, он использовал сложный символический язык для определения логики без математики. С помощью символизма Фреге все логические рассуждения, которые типичные математики использовали бы в его время, могли быть представлены в виде цепочек символов без какой-либо двусмысленности. Его работа была предшественницей современной логики первого порядка, которая воплощает элементарную логику (и), (или), (не), (подразумевает), (для всех) и (существует) . Например, следующие рассуждения

Все собаки млекопитающие,

Следовательно, хвост собаки - это хвост млекопитающего.

можно представить как

в современной логике первого порядка, где D, M, T означают «это собака», «это млекопитающее» и «это хвост ». Человеку-читателю гораздо труднее постичь символическую версию рассуждений. Дело в том, что, представляя любое логическое рассуждение как синтаксические операции на символическом языке, его достоверность может быть проверена каким-то «механизмом». Фреге буквально установил метаматематику, в которой можно было изучать сами математические доказательства.

Фреге попытался перестроить арифметику или теорию чисел, которая гласила:

  1. Чтобы избежать ссылок на себя, аксиомы основывались на логике и концепциях множества.
  2. Никаких ссылок на числа не было, пока они не были определены на основе аксиом.

Фреге считал понятие множеств более самоочевидным, чем понятие числа, которое определялось как определенное свойство множеств. У вас может возникнуть соблазн сказать, что это конкретное свойство, называемое «мощностью» набора, является «числом» членов в нем. Но помните, что «число» еще не определено. Мы можем сказать, что если вы можете найти взаимно однозначное соответствие между членами двух множеств, то они имеют одинаковую мощность. Ваши представления о числах, извлеченные из вашего предыдущего опыта, не могут быть учтены в теории чисел Фреге.

План игры Фреге заключался в том, что после того, как все известные теоретико-числовые истины могут быть выведены из его аксиом и логических правил, все разделы математики могут быть восстановлены на логической основе.

Его честолюбие почти удалось, прежде чем встретило смертельный удар. Парадокс лжеца убивает Нормана, вышеупомянутого вымышленного андроида из StarTrek. Точно так же парадокс самореференции положил конец математическим амбициям Фреге. Бертран Рассел, английский эрудит и математик 1872–1970 годов, послал Фреге письмо незадолго до того, как он собирался опубликовать свой последний и величайший труд по логике. В письме Рассел привел сценарий, просто выраженный на символическом языке Фреге:

Учитывая набор, который является набором каждого набора, который не принадлежит самому себе, принадлежит ли такой набор самому себе?

Этот сценарий оказался парадоксальным. Если предположить, что он принадлежит самому себе, он не принадлежит самому себе. С другой стороны, если он не принадлежит самому себе, то он принадлежит самому себе. Любой ответ приводит к противоречию. Фреге воспринял этот парадокс как трещину в математическом фундаменте, который он планировал закрепить. Потрясенный ошибочностью интуиции в целом, от которой он пытался избавиться, Фреге отчаялся и забросил свою работу.

[Часть 2: Предел логики и рост компьютеров]

[Часть 3: Интуиция, сложность и последний парадокс]

Библиография

  • Ааронсон, С. (2016). П =? НП. В разделе Открытые задачи по математике. Springer.
  • Аристотель «О риторике»: теория гражданского дискурса (Дж. А. Кенди, пер.). (1991). Издательство Оксфордского университета.
  • Бансал, К., Лоос, С., Рабе, М., Сегеди, К., и Уилкокс, С. (2019). HOList: среда для машинного обучения доказательства теорем высокого порядка. Труды 36-й конференции по машинному обучению.
  • Бансал, К., Сегеди, К., Рабе, М.Н., Лоос, С.М., и Томан, В. (2020, 11 июня). Учимся рассуждать в больших теориях без подражания . Https://arxiv.org/pdf/1905.10501.pdf
  • Борель Э. (1962). Вероятности и жизнь. Dover Publications, Inc.
  • Копленд, Дж. Б., Пози, К. Дж., и Шагрир, О. (ред.). (2013). Вычислимость: Тьюринг, Гёдель, Черч и не только (изд. Kindle). MIT Press.
  • Хеул, М. Дж. Х., Куллманн, О., & Марек, В. В. (2016). Решение и проверка логической проблемы троек Пифагора с помощью Cube-and-Conquer. В Конспект лекций по информатике (стр. 228–245). Издательство Springer International. 10.1007 / 978–3–319–40970–2_15
  • Пуанкаре, Х. (1969). ИНТУИЦИЯ и ЛОГИКА в математике. Учитель математики, 62 (3), 205–212.
  • Полу С. и Суцкевер И. (7 сентября 2020 г.). Генеративное языковое моделирование для автоматизированного доказательства теорем. arxiv.org. Https://arxiv.org/abs/2009.03393
  • Поля Г. (1954). Индукция и аналогия в математике.
  • Поля Г. (1954). Математика и правдоподобные рассуждения. Издательство Мартино.
  • Поля, Г. (1973). Как это решить (второе изд.). Издательство Принстонского университета.
  • Сельсам, Д., Ламм, М., Бунц, Б., Лян, П., Дилл, Д. Л., и де Моура, Л. (12 марта 2019 г.). Изучение SAT-решателя на основе одноразрядного контроля. Https://arxiv.org/abs/1802.03685