В последней статье мы обсудили свойства стационарности, причинности и обратимости процесса ARMA(p,q), а также условия, необходимые для их обеспечения, и способы их проверки. В этой статье мы увидим, как эти свойства, в частности, стационарность и причинность, значительно упрощают нашу задачу по нахождению ACVF, ACF и PACF.
ARMA(p,q) как линейный процесс
Напомним из этой статьи, что линейный процесс — это не более чем стационарный временной ряд, который имеет представление
удовлетворяющий
Далее мы увидели в этой статье, что когда в основе случайных величин такого процесса лежит белый шум, то автоковариантность такого процесса можно записать в виде
Теперь из предыдущей статьи мы увидели, что если наш процесс ARMA(p,q) является причинным, мы можем найти коэффициенты phi такие, что
который действительно является линейным процессом с коэффициентами
Обратите внимание, что мы можем видеть полином Psi как «отношение» полиномов Theta и Phi,
Таким образом, мы можем просто использовать пси-коэффициенты, чтобы найти ACV!
Пример работы
Давайте посмотрим на полностью рабочий пример с ARMA(1,1); предположим, что у нас есть такой процесс, заданный
Теперь мы можем использовать рекурсивную формулу, чтобы найти случайное представление. Такое представление имеет вид
где
.Тогда по формуле
мы нашли
и это все! Излишне упоминать, что когда мы знаем эти формы, найти АКФ становится тривиально. Поиск таких красивых замкнутых форм может немного запутаться из-за бесконечных сумм и алгебры, но в остальном это довольно простой процесс. К счастью, если вы не изучаете этот материал в академических целях или просто для удовольствия, в большинстве случаев вы не будете вычислять это вручную. В следующих статьях мы полностью погрузимся в подробные примеры в R, чтобы вы могли увидеть, как все соединяется. А пока давайте закончим эту статью обзором PACF :).
ПАКФ
Конечно, выборочный PACF использует выборочные эквиваленты автоковариации.
Примечание
Что измеряет PACF?
PACF измеряет связь между X_{h+1} и X_{1}, с поправкой на X_{h}, X_{h-1}, … , X_{2}.То есть, он говорит нам, насколько корреляция обусловлена самой большой задержкой X_{1} с фактическим наблюдением, которое мы ищем в, с поправкой на ассоциацию всех остальных промежуточных лагов. Более явно,
Ознакомьтесь с некоторыми примерами использования PACF в R здесь, но мы скоро вернемся к ним с процессами ARMA :).
Как Р
Давайте рассмотрим быстрый пример, смоделировав процесс ARMA(2,1) и проверив, как ведут себя его ACF и PACF. Как и в прошлой статье, мы начинаем с указания его коэффициентов в соответствующем формате:
Затем мы используем функцию arima.sim для имитации данного процесса ARMA(2,1):
Мы также можем построить результирующий процесс:
Обратите внимание, как сложно взглянуть на график временного ряда и выяснить, является ли он стационарным! Если мы посмотрим на данные, то окажется, что у нас «нет» тренда, и можно даже подумать, что есть сезонные компоненты, вид изменчивости меняется со временем и т. д. Мы также можем зациклиться на небольшой окно процесса:
Кажется, здесь есть какая-то автокорреляция, но все же очень трудно точно сказать, что это такое. Вместо этого давайте взглянем на ACF и PACF:
Здесь важно видеть одну важную вещь: несмотря на то, что в ACF есть несколько задержек, которые выходят за пределы, PACF показывает нам, что при корректировке промежуточной корреляции это становится значительно меньше. Мы можем использовать истинные коэффициенты ARMA (2,1), которые мы указали выше, для вычисления теоретических величин ACF и PACF и сравнения их с выборочными значениями следующим образом:
Мы можем заметить, что эти значения близко соответствуют значениям на графиках:
В следующий раз
И это все на данный момент! В следующих статьях мы рассмотрим прогнозирование с помощью процессов ARMA(p,q) вместе с некоторыми интересными примерами в R. Оставайтесь с нами и удачного обучения!
Последний раз
Главная страница
Следуй за мной в
- https://blog.jairparraml.com/
- https://www.linkedin.com/in/hair-parra-526ba19b/
- https://github.com/JairParra
- https://medium.com/@hair.parra
