Как рассчитать биномиальные коэффициенты для больших чисел

Во-первых, отмечу, что вы пытаетесь вычислить биномиальный коэффициент, поэтому назовем его так.

Вот несколько способов сделать расчет. Если вы используете BigInteger, вам не нужно беспокоиться о переполнении:

Способ первый: используйте факториал:

static BigInteger Factorial(BigInteger n)
{
    BigInteger f = 1;
    for (BigInteger i = 2; i <= n; ++i)
        f = f * i;
    return f;
}

static BigInteger BinomialCoefficient(BigInteger n, BigInteger k)
{
    return Factorial(n) / (Factorial(n-k) * Factorial(k));
}

Способ второй: используйте рекурсию:

static BigInteger BinomialCoefficient(BigInteger n, BigInteger k)
{
    if (n == 0) return 1;
    if (k == 0) return 0;
    return BinomialCoefficient(n-1, k-1) + BinomialCoefficient(n-1, k)
}

Однако этот метод не быстрый, если вы не запомните результат.

Метод третий: будьте более умны в минимизации количества умножений и делении раньше. Это делает цифры небольшими:

static BigInteger BinomialCoefficient(BigInteger n, BigInteger k)
{
    // (n C k) and (n C (n-k)) are the same, so pick the smaller as k:
    if (k > n - k) k = n - k;
    BigInteger result = 1;
    for (BigInteger i = 1; i <= k; ++i)
    {
        result *= n - k + i;
        result /= i;
    }
    return result;
}

Так, например, если вы вычисляли (6 C 3), вместо вычисления (6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1) / ((3 х 2 х 1) х (3 х 2 х 1)), вы вычисляете (((4 / 1) * 5) / 2) * 6) / 3, что позволяет по возможности уменьшить числа.

Следуя тому, что сказал Эрик, раннее деление очень помогает, вы можете улучшить это, деля от большего к меньшему. Таким образом, вы можете рассчитать любой результат, если конечный результат соответствует Long. Вот код, который я использую (извиняюсь за Java, но преобразование должно быть простым):

public static long binomialCoefficient(int n, int k) {
   // take the lowest possible k to reduce computing using: n over k = n over (n-k)
   k = java.lang.Math.min( k, n - k );

   // holds the high number: fi. (1000 over 990) holds 991..1000
   long highnumber[] = new long[k];
   for (int i = 0; i < k; i++)
      highnumber[i] = n - i; // the high number first order is important
   // holds the dividers: fi. (1000 over 990) holds 2..10
   int dividers[] = new int[k - 1];
   for (int i = 0; i < k - 1; i++)
      dividers[i] = k - i;

   // for every divider there always exists a highnumber that can be divided by 
   // this, the number of highnumbers being a sequence that equals the number of 
   // dividers. Thus, the only trick needed is to divide in reverse order, so 
   // divide the highest divider first trying it on the highest highnumber first. 
   // That way you do not need to do any tricks with primes.
   for (int divider: dividers) 
      for (int i = 0; i < k; i++)
         if (highnumber[i] % divider == 0) {
            highnumber[i] /= divider;
            break;
         }

   // multiply remainder of highnumbers
   long result = 1;
   for (long high : highnumber)
      result *= high;
   return result;
}

Для .net 4.0 и выше используйте класс BigInteger вместо int/long.

Для других .net используйте собственный класс больших чисел, например, из IntX: http://www.codeplex.com/IntX/

Я думаю, это будет эффективно
Это O(k)

заметьте н! / р! р! просто отменяет последний r из n
так что 7 3

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 
over 
            4 x 3 x 2 x 1 

public static uint BinomialCoeffient(uint n, uint k)
{
    if (k > n)
        return 0;

    uint c = n;
    for (uint i = 1; i < k; i++)
    {
        c *= n - i;
        c /= i + 1;
    }
    return c;
}