Количество различных путей в дереве, у которых значение узлов в этом пути больше или равно K

Эту проблему можно решить с помощью динамического программирования на деревьях, вы можете прочитать об этом здесь https://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-trees-set-2/.

Разобьем задачу на две части, первая — найти количество допустимых путей в поддереве узла u. Вторая часть — найти ответ для узла u, если мы не рассматриваем его поддерево, а идем к его родителю и так далее.

Возьмем 1 за корень дерева.

Теперь для решения первой части мы создадим массив in[], в котором мы будем хранить количество путей в поддереве узла u, поэтому in[u] будет представлять количество допустимых путей, начинающихся с узла u и посещающих его поддерево. Чтобы вычислить этот массив, мы можем запустить простой поиск в глубину следующим образом:

//u is the current node - p is the parent
void dfs1(int u, int p) {
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { //iterate through the adjacency of node u
        int v = g[u][i]; // v is the child of u
        if (v != p) { //in case v is the parent just ignore it
            dfs1(v, u); //go to node v
            if (u >= k && v >= k) { //if value of u or v is less than k then we cant start at this node so it should be 0
                in[u] += in[v] + 1; //add to number of paths of u the number of paths starting from the node v + 1 (+1 because we can also go from u to v)
            }
        }
    }
}

Для решения второй части нам нужен массив out[], где out[u] — количество допустимых путей, если мы не рассматриваем поддерево u, которое ведет к родителю u и так далее.

давайте позвоним родителю u P[u]. Чтобы вычислить out[u], мы будем полагаться на p[u]. out[i] — это число допустимых путей, если мы перейдем к p[u], и что мы можем сделать, когда доберемся до p[u], так это либо пройти через его поддерево (конечно, исключая ветвь u), либо посетить p[p[u]] (родитель родителя u), поэтому out[u] равно (out[p[u]] + 1) + (in[p[u]] - in[u] - 1).

// u is the current node - p is the parent
void dfs2(int u, int p) {
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { // iterate through the adjacency of node u
        int v = g[u][i]; // v is the child of u
        if (v != p) { // in case v is the parent just ignore it
            if (v >= k && u >= k) { // if value of u or v is less than k then we cant start at this node so it should be 0
                out[v] += (out[u] + 1); //add to the number of paths of v the number of paths from it's parent (u) + 1 if we dont use the subtree of u
                out[v] += (in[u] - in[v] - 1); // add to the number of paths of v the number of paths from it's parent (u)
                // we should subtract in[v] + 1 because we want to exclude this branch from the subtree of the parent
            }
            dfs2(v, u); // go to node v
        }
    }
}

Чтобы найти ответ, просто просуммируйте все out[u] + in[u] для всех узлов и разделите на 2, потому что каждый путь вычислялся дважды.

сложность O(V+E)

Давайте решим эту задачу в более простом случае, предположим, что все узлы в дереве больше, чем k, поэтому номер допустимого пути равен nC2.

И мы также делаем наблюдение, что допустимый путь не может содержать ни одного узла, который меньше k, поэтому нам нужно будет удалить все узлы, которые меньше k из дерева, что создаст n - k поддерево, таким образом, окончательный результат будет

result = sum of nC2 of all subtree

Простой алгоритм:

remove all edges that connect to nodes that less than k

for each node that >= k and not marked as visited
  do bfs to count number of node in that subtree
  result += nC2

return result

Для деревьев, предполагая, что перечисляемые нами пути направлены сверху вниз, мы можем сформулировать это рекурсивно. Пусть f(T, k) представляет собой кортеж [a, b], где a — количество различных допустимых путей в T, начинающихся с T; и b, количество различных допустимых путей в T, которые начинаются в нижнем узле. Все узлы в допустимых путях имеют значение больше или равно k.

Затем (код Python):

def f(T, k):
  if not T["children"]:
    return [0, 0]

  result = [0, 0]

  for c in T["children"]:
    [a, b] = f(c, k)
    result[1] += a + b

    if T["value"] >= k <= c["value"]:
      # One valid path from T to c
      # plus extending all the paths
      # that start at c
      result[0] += 1 + a

  return result

Тогда ответ будет a + b после вызова f из корня дерева.

Выход:

T = {
  "value": 1,
  "children": [
    {
      "value": 2,
      "children": [
        {
          "value": 3,
          "children": [
            {
              "value": 4,
              "children": []
            }
          ]
        }
      ]
    }
  ]
}

print f(T, 2)  # [0, 3]