Если вы хотите просто узнать о:

Мне сложно понять процесс заполнения многомерного массива.

затем забудьте строку и char и сделайте что-нибудь простое, например, используйте int. Следующий пример кода показывает именно это.

Самый простой случай: заполнение многомерного массива любого типа

#include <stdio.h>

int main() {
  int arr[2][2];
  int str;
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("please put in a number [%d][%d]: ", i,j);
      scanf("%d", &str);
      arr[i][j] = str;
    }
  }
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("arr[%d][%d] == %d\n", i,j,arr[i][j]);
    }
  }
  return 0;
}

$ ./stackoverflow
please put in an number[0][0]: 1
please put in an number[0][1]: 2
please put in an number[1][0]: 34
please put in an number[1][1]: 450

arr[0][0] == 1
arr[0][1] == 2
arr[1][0] == 34
arr[1][1] == 450

Заполнить символы

Если вы хотите использовать одиночные символы, вы также можете использовать следующий код, НО вы должны быть осторожны. scanf работает таинственным образом. Обратите внимание на пробел перед %c. То есть, чтобы потреблять \n, который есть, вы нажимаете ввод. Вы можете прочитать здесь, но именно поэтому вам пришлось сначала дважды введите какой-то ввод и нажмите ввод. Честно говоря, я бы использовал что-то другое, кроме scanf, например, fgets, но, поскольку вы использовали scanf, я показал код, который также использует его.

#include <stdio.h>

int main() {
  char arr[2][2];
  char str;
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("%s", "please put in a character: ");
      if (scanf(" %c", &str) == 1)  { arr[i][j] = str; }
    }
  }
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("arr[%d][%d] == %c\n", i,j,arr[i][j]);
    }
  }
  return 0;
}

$ ./stackoverflow
please put in a character: a
please put in a character: b
please put in a character: c
please put in a character: d

arr[0][0] == a
arr[0][1] == b
arr[1][0] == c
arr[1][1] == d

Заполнить строки

Если вы хотите читать строки, вам нужно сделать это немного по-другому. Вам не нужен двумерный массив. Вам нужен трехмерный массив, потому что строки сами по себе являются массивами символов. Без 3D-массива вы перезаписали 2D-массив и получили только последнее значение, напечатанное несколько раз. Что еще хуже, так как ваш многомерный массив имеет размер 2x2, а входная строка имеет размер 1xn, а где n больше 2, вы бы получили переполнение буфера. Следующий код исправляет это.

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main() {
  char arr[2][2][20];
  char str[20];
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("%s", "please put in a string: ");
      if (scanf("%s", &str[0]) == 1)
      {
          // arr[i][j] = &str[0];
          strncpy(arr[i][j], str, 20);
      }
    }
  }
  for(int i = 0; i < 2; i++){
    for (int j = 0; j < 2; j++){
      printf("arr[%d][%d] == %s\n", i,j, arr[i][j]);
    }
  }
  return 0;
}

$ ./stackoverflow
please put in a string: ab
please put in a string: cd
please put in a string: ef
please put in a string: gh

arr[0][0] == ab
arr[0][1] == cd
arr[1][0] == ef
arr[1][1] == gh

И на всякий случай вот 4-й вариант, в котором вместо массива 3D-символов используется char* arr[2][2]. Это не сильно меняет, но, как я уже сказал, просто на всякий случай.

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>

int main() {
    char* arr[2][2];
    char str[20];
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for (int j = 0; j < 2; j++){
            printf("%s", "please put in a string: ");
            if (scanf("%s", &str[0]) == 1)
            {
                arr[i][j] = (char*)malloc(20*sizeof(char));
                strncpy(arr[i][j], str, 20);
            }
        }
    }

    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for (int j = 0; j < 2; j++){
            printf("arr[%d][%d] == %s\n", i,j, arr[i][j]);
        }
    }
  return 0;
}