Является ли метод второго порядка хуже, чем метод первого порядка?

Я думал об элементарном вопросе численного анализа.

Хорошо известно, что при дискретизации обыкновенного дифференциального уравнения метод второго порядка более точен, чем метод первого порядка, поскольку ошибка усечения для метода второго порядка составляет O(dx^2) и O(dx) для метода первого порядка. . Это верно, когда 0 ‹ dx ‹ 1.

что если дх > 1? Например, домен от 0 до 10000 и размер ячейки 1000, тогда dx = 10. В этом случае метод второго порядка не точен, как метод первого порядка, поскольку dx^2 = 100 и dx = 10? Мы можем столкнуться с этим при решении крупномасштабных задач, таких как моделирование климата (размер облака может достигать нескольких километров).


numerical-methods numerical-analysis
person Zheng Gao    schedule 18.11.2016    source источник

Ответы (1)


arrow_upward
1
arrow_downward

Метод второго порядка не более точен, чем метод первого порядка, потому что dx^2 ‹ dx для некоторого значения dx. Это утверждение об асимптотической скорости сходимости для малых dx.

Кроме того, сравнение dx^2 с dx напрямую не имеет смысла, потому что dx не безразмерная величина, а длина. Итак, вы пытаетесь сравнить площадь с длиной, что бессмысленно.

В нотации big-O, если величина сходится с O(dx^2), то это обычно означает, что ошибка имеет вид e = a2 dx^2 + a3 dx^3 + ... Старший коэффициент a2 выражается в единицах X/метры^2, где X — любые единицы, в которых находится ваша ошибка, и возможно, вы используете какую-то другую длину вместо метров. Точно так же для решения первого порядка ошибка имеет форму b1 dx + b2 dx^2 + ..., где b1 выражается в X/метрах.

Так что, если вы решите, что можете пренебречь неглавными членами (чего вы, вероятно, не можете сделать для больших значений dx), сравнение будет не между dx^2 и dx, а между a2 dx^2 и b1 dx. Очевидно, что между этими двумя членами ошибки есть пересечение, но оно не при dx=1, а при dx = b1/a2. Если ваша дискретизация настолько грубая, вы, вероятно, не находитесь в асимптотическом режиме, в котором вы можете игнорировать члены более высокого порядка, и ваше решение, вероятно, в любом случае очень неточное.

person LedHead    schedule 16.01.2017