Решение для создания шаблонов Javascript, которое позволяет после рендеринга использовать внедренные объекты?

Этот вопрос отмечен тегом backbone.js поэтому вам следует использовать обычную систему обработки событий представления Backbone вместо обработчиков onclick. Вы упомянули tasks.models, так что предположительно tasks является коллекцией.

Одним из подходов было бы использование атрибутов данных для хранения модели ids. Ваш шаблон будет выглядеть так:

{{#each tasks}}
    <div>
        {{name}} - <button data-id="{{id}}" type="button">Completed</button>
    </div>
{{/each}}

и тогда ваше представление будет настроено следующим образом:

Backbone.View.extend({
    events: {
        'click button': 'completed'
    },
    render: function() {
        var t = Handlebars.compile($('#whatever-the-template-is').html());
        this.$el.append(t({
            tasks: this.collection.toJSON()
        }));
        return this;
    },
    completed: function(ev) {
        var id = $(ev.currentTarget).data('id');
        var m  = this.collection.get(id);
        // Do whatever needs to be done to the model `m`...
    }   
});

Демо: https://jsfiddle.net/ambiguous/z7go5ubj/

Весь код остается в представлении (где уже есть все данные), а шаблон обрабатывает только представление. Никаких глобальных переменных, хорошее разделение задач и идиоматическая структура Backbone.

Если части вашего представления для каждой модели более сложны, вы можете иметь одно представление для коллекции и подпредставления для каждой модели. В этом случае ваши шаблоны для каждой модели будут выглядеть так:

<div>
    {{name}} - <button type="button">Completed</button>
</div>

Больше никаких атрибутов данных не требуется. У вас будет новое представление для каждой модели примерно так:

var VM = Backbone.View.extend({
    events: {
        'click button': 'completed'
    },
    render: function() {
        var t = Handlebars.compile($('#whatever-the-template-is').html());
        this.$el.append(t(this.model.toJSON()));
        return this;
    },
    completed: function() {
        console.log('completed: ', this.model.toJSON());
    }   
});

и цикл переместится в представление коллекции:

var VC = Backbone.View.extend({
    render: function() {
        this.collection.each(function(m) {
            var v = new VM({ model: m });
            this.$el.append(v.render().el);
        }, this);
        return this;
    }
});

Демо: https://jsfiddle.net/ambiguous/5h5gwhep/

Конечно, в реальной жизни ваш VC будет отслеживать свои VM, чтобы VC#remove мог вызывать remove для всех своих дочерних VM.

Мой ответ - всего лишь намек, я старался держаться ближе к вопросу. Обратитесь к этому ответу для лучшего решения: https://stackoverflow.com/a/32493586/1636522.

Вы можете использовать индекс или любую другую информацию, чтобы найти элемент. Вот пример использования Handlebars, предполагая, что каждая задача может быть идентифицирована по идентификатору:

var tasks = [];
var source = $('#source').html();
var template = Handlebars.compile(source);
tasks[0] = { id: 42, label: 'coffee', description: 'Have a cup of coffee.' };
tasks[1] = { id: 13, label: 'help', description: 'Connect to StackOverflow.' };
tasks[2] = { id: 40, label: 'smile', description: 'Make μ smile.' };
$('#placeholder').html(template({ tasks: tasks }));

function onClick (id) {
  var task, i = 0, l = tasks.length;
  while (i < l && tasks[i].id !== id) i++;
  if (i === l) {
    // not found
  }
  else {
    task = tasks[i];
    alert(task.label + ': ' + task.description);
  }
}

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script>
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/handlebars.js/4.0.2/handlebars.min.js"></script>
<script id="source" type="text/x-handlebars-template">
  {{#each tasks}}
  <button 
    type="button" 
    class="task" 
    style="margin-right:.5em"
    onclick="onClick({{id}})"
  >{{label}}</a>
  {{/each}}
</script>
<div id="placeholder"></div>