Получить значение первичного ключа выбранного элемента строки в DataGrid с помощью WPF

Вы можете добавить ID в оператор выбора

string Query = "Select ID,Card_Number,Clients_Title,Address_Current,Phone_Number,Mobile_Number from Customer_New "; 

Поскольку вы хотите скрыть столбец ID, а ваши столбцы создаются автоматически, зарегистрируйтесь в событии AutoGeneratingColumn вашей сетки.

datagrid_cindex.AutoGeneratingColumn += OnAutoGenetingColumns;

В OnAutoGenetingColumns скрыть столбец идентификатора

private void OnAutoGenetingColumns(object sender, DataGridAutoGeneratingColumnEventArgs e)
{
    if (e.Column.Header.ToString() == "ID")
        e.Column.Visibility = System.Windows.Visibility.Collapsed;
}

Если вы хотите получить идентификатор выбранной строки, используйте:

var selectedRow = datagrid_cindex.SelectedItem as DataRowView;
var id = selectedRow["ID"];

Надеюсь это поможет