Площадь между двумя линиями внутри квадрата [-1,+1] x [-1,+1]

Я думаю, что мой ответ на ваш предыдущий вопрос по-прежнему применим по большей части.

Если вы хотите вычислить площадь области, ограниченной меньшим углом двух линий и границами квадрата, то вы можете забыть о пересечении и забыть обо всех различных случаях.

Вы можете просто использовать тот факт, что

• площадь квадрата S равна 4

• значение этого интеграла

  A = quadgk(@(x) ...
      abs( max(min(line1(x),+1),-1) - max(min(line2(x),+1),-1) ), -1, +1);
  

  дает вам площадь между линиями (иногда большой угол, иногда маленький угол)

• значение min(A, S-A) является правильным ответом (всегда маленький угол).

Предполагая, что «между линиями» означает «внутри меньшего угла, образованного линиями»:

С линиями l и h, S := [-1,+1]x[-1,+1] и B в качестве границы S.

Преобразуйте l в форму l_1 + t*l_2 с векторами l_1 и l_2. Сделайте то же самое для ч.

• Если пересечение не находится внутри S, найдите 4 пересечения l и h с B. Рассортируйте их так, чтобы получился выпуклый четырехугольник. Вычислите его площадь.
• Else:
  • Find the intersection point p and find the intersection angle α between l_2 and h_2. and then check:
    • If α in [90°,180°] or α in [270°,360°], swap l and h.
    • Если α > 180°, установите l_2 = −l_2
  • Set l_1 := h_1 := p. Do once for positive t and negative t (forwards and backwards along l_2 and h_2 from p):
    • Find intersections s_l and s_h of l and h with B.
    • Если на той же границе B: вычислить площадь треугольника s_l, s_h, p
    • Если на соседних границах B: найдите угол c B между границами попадания и еще раз отсортируйте четыре точки s_l, s_h, p и c так, чтобы получился выпуклый четырехугольник, и вычислите его площадь.
    • Если на противоположных границах, найдите совпадающую сторону B (вы можете сделать это, посмотрев на направление s_l-p). Используя две его угловые точки c_1 и c_2, теперь у вас есть 5 точек, которые образуют многоугольник. Отсортируйте их так, чтобы многоугольник был выпуклым, и вычислите его площадь.

Это все еще довольно много случаев, но я не думаю, что есть способ обойти это. Вы можете несколько упростить это, также используя формулу многоугольника для треугольника и четырехугольника.

Как отсортировать точки, чтобы получился выпуклый многоугольник/четырехугольник: выберите любую из них как p_1, а затем отсортируйте остальные точки по углу до p_1.

Если вы определите функцию intersection и функцию polygon_area, которая берет список точек, сортирует их и возвращает площадь, этот алгоритм должен быть довольно простым в реализации.

редактировать: Изображение, поясняющее комментарий:

Привет, ребята, спасибо за ваши ответы, я также подумал об эмпирическом методе определения площади между линиями и хотел поделиться им для обсуждения и полноты.

Если вы возьмете большое количество случайных точек внутри квадрата [-1,+1]x[-1,+1], вы можете измерить площадь как долю точек, попадающих в область между двумя линиями.

Вот небольшой фрагмент и два изображения, чтобы показать разную точность эмпирического результата, полученного с разным количеством точек.

minX = -1;
maxX = +1;

errors = 0;
size = 10000;

for j=1:size,

    %random point in [-1,+1]
    T(j,:) = minX + (maxX - minX).*rand(2,1); 

    %equation of the two lines is used to compute the y-value
    y1 = ( ( B(2) - A(2) ) / ( B(1) - A(1) ) ) * (T(j,1) - A(1)) + A(2);
    y2 = (- W(1) / W(2)) * T(j,1) -tresh / W(2);

    if(T(j,2) < y1),
        %point is under line one
        Y1 = -1;
    else
        %point is above line one
        Y1 = +1;
    end

    if(T(j,2) < y2),
        %point is under line two 
        Y2 = -1;
    else
        %point is above line two
        Y2 = +1;
    end

    if(Y1 * Y2 < 0),

        errors = errors + 1;
        scatter(T(j,1),T(j,2),'fill','r')
    else
        scatter(T(j,1),T(j,2),'fill','g')
    end

end

area = (errors / size) / 4;

И вот два изображения, это, безусловно, занимает больше времени, чем решение, опубликованное @Rody, но, как вы видите, вы можете сделать его точным.

• Количество баллов = 2000

Количество баллов = 10000