Как я могу преобразовать координаты на круге в координаты на квадрате?

x = ½ √( 2 + u² - v² + 2u√2 ) - ½ √( 2 + u² - v² - 2u√2 )
y = ½ √( 2 - u² + v² + 2v√2 ) - ½ √( 2 - u² + v² - 2v√2 )

Примечание к обозначениям: я использую x = xSquare, y = ySquare, u = xCircle и v = yCircle;

т. е. (u,v) — координаты кругового диска, а (x,y) — квадратные координаты.

Для реализации уравнений на C++ перейдите по адресу
http://squircular.blogspot.com/2015/09/mapping-circle-to-square.html

Дополнительные примеры изображений см. на http://squircular.blogspot.com.
Также см. http://arxiv.org/abs/1509.06344 для доказательства/вывода

Это отображение является обратным

u = x √( 1 - ½ y² )
v = y √( 1 - ½ x² )

P.S. Отображение не уникально. Есть и другие отображения. Рисунок ниже иллюстрирует неуникальность отображения.

если у вас есть xCircle и yCircle, это означает, что вы находитесь на круге с радиусом R = sqrt(xCircle^2 + yCircle^2). Теперь вам нужно расширить этот круг до квадрата с половиной стороны = R,

if (xCircle < yCircle)
     ySquare = R, xSquare = xCircle * R/yCircle
else
     xSquare = R, ySquare = yCircle * R/xCircle

это для первого квадранта, для других нужна некоторая тривиальная настройка со знаками

Есть много способов сделать это; вот один простой способ.

Представьте себе круг радиуса R с центром в начале координат и квадрат со стороной 2R с центром в начале координат. Мы хотим отобразить все точки внутри и на границе окружность (с координатами (x,y)) к точкам внутри и на границе квадрата. Обратите внимание, что мы также можем описать точки внутри круга, используя полярные координаты (r, ø) (предполагается, что это фи), где

x = r cos ø,
y = r sin ø

(т. е. r^2 = x^2 + y^2 и r ‹= 1). Затем представьте другие координаты x' = a(ø) x = a(ø) r cos ø и y' = a(ø) y (т.е. мы решаем, что a не будет зависеть от r).

Чтобы сопоставить границу круга (r = 1) с границей квадрата (x' = R), мы должны иметь для ø ‹ 45 градусов, x' = a(ø) R cos ø = R, поэтому должно быть a(ø) = 1/cos ø. Точно так же для 45 ‹ ‹ ‹ 90 мы должны иметь границу карты круга с y' = R, что дает a(ø) = 1/sin ø в этом регионе. Продолжая движение по кругу, мы видим, что a(ø) всегда должно быть положительным, поэтому окончательное отображение круга в квадрат равно

x' = a(ø) x,
y' = a(ø) y

куда

ø = |arctan y/x| = arctan |y/x|

а также

a(ø) = 1/cos ø, когда ø ‹= 45 градусов (т. е. когда x ‹ y), и
a(ø) = 1/sin ø, когда ø > 45 град.

Это немедленно дает вам отображение в другом направлении. Если у вас есть координаты (x', y') на квадрате (где x' ‹= R и y' ‹= R), тогда

x = x'/a(ø)
y = y'/a(ø)

с a(ø), как указано выше.

Однако гораздо более простым преобразованием является вычисление (r, ø) для нужного положения на окружности и сопоставление его с x' = r и у' = ø. Это также преобразует каждую точку круга в прямоугольник и наоборот и может иметь лучшие свойства, в зависимости от того, что вы хотите сделать.

Так что это реальный вопрос: что вы на самом деле стремитесь сделать здесь?

Я реализовал решение выше, но результаты не удовлетворяют. Координаты квадрата не точны.

Вот простой контрпример:

• Рассмотрим точку (x,y)=(0,75, 1) на квадрате.
• Мы сопоставляем его с кругом с (u, v) = (0,53, 0,85) на круге.

• Применяя выражение выше, мы получаем новые квадратные координаты

  (x',y')=(u/v,r)=(0,625543242, 1) с r=(u^2+v^2)^(1/2).

Эта точка близка, но не является ожидаемым точным решением.

Я решил задачу поиска корня, чтобы получить обратное выражение отображения из квадрата в круг, как указано выше. вам нужно решить системные уравнения, как показано выше:

I) u = x*(1-y^2/2)^(1/2)
II) v = y*(1-x^2/2)^(1/2)

В итоге получается 8 корневых точек в качестве решения. Один из корней, который я внедрил в Excel-VBA, который я представляю здесь ниже, работает очень хорошо.

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the x coordinate on the square
Function circ2sqrX(u As Double, v As Double) As Double
    Dim r As Double, signX As Double, u2 As Double, v2 As Double, uuvv As Double, temp1 As Double
    u2 = u * u
    v2 = v * v
    r = Sqr(u2 + v2)
    signX = 1
    If v = 0 Or u = 0 Then
       circ2sqrX = u
       Exit Function
    End If
    If u < 0 Then
    signX = -1
    End If
    If Abs(u) = Abs(v) And r = 1 Then
       circ2sqrX = signX
       Exit Function
    End If
    uuvv = (u2 - v2) * (u2 - v2) / 4
    temp1 = 2 * Sqr(uuvv - u2 - v2 + 1)
    circ2sqrX = -((temp1 - u2 + v2 - 2) * Sqr(temp1 + u2 - v2 + 2)) / (4 * u)
End Function

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the y coordinate on the square
' make use of symetrie property
Function circ2sqrY(u As Double, v As Double) As Double
    circ2sqrY=circ2sqrX(v,u)
End Function