Экспоненциальная скользящая средняя, ​​выбранная в разное время

Этот ответ основан на моем хорошем понимании фильтров нижних частот («экспоненциальное скользящее среднее» на самом деле просто однополюсный фильтр нижних частот), но на моем туманном понимании того, что вы ищете. Я думаю, что вам нужно следующее:

Во-первых, вы можете немного упростить свое уравнение (выглядит сложнее, но проще в коде). Я собираюсь использовать «Y» для вывода и «X» для ввода (вместо S для вывода и Y для ввода, как вы это сделали).

Y _n = X + (1-) Y _n-1 Y _n = Y _n-1 + ( X - Y _n-1)

какие коды для:

 Y += alpha * (X-Y);

Во-вторых, значение здесь «равно» 1-e ^{-t /}, где t - время между выборками, а это постоянная времени фильтра нижних частот. Я говорю «равно» в кавычках, потому что это хорошо работает, когда t / мало по сравнению с 1 и = 1-e ^{-t /} t /. (Но не слишком мало: вы столкнетесь с проблемами квантования, и, если вы не прибегнете к каким-то экзотическим методам, вам обычно потребуется дополнительное N бит разрешения в вашей переменной состояния S, где N = -log ₂ ().) При больших значениях t / эффект фильтрации начинает исчезать, пока вы не дойдете до точки, близкой к 1, и вы в основном просто назначаете вход для выхода.

Это должно работать правильно с различными значениями t (изменение t не очень важно, пока альфа мала, иначе вы столкнетесь с некоторыми довольно странными проблемами Найквиста / псевдонимом / и т. Д.), И если вы работаете над процессором где умножение дешевле деления или проблемы с фиксированной точкой важны, предварительно вычислите = 1 /, и попробуйте аппроксимировать формулу для.

Если вы действительно хотите знать, как получить формулу

= 1-е ^{-t /}

затем рассмотрим его источник дифференциального уравнения:

Y + dY / dt = X

которая, когда X является функцией единичного шага, имеет решение Y = 1 - e ^{-t /}. Для малых значений t производная может быть аппроксимирована соотношением Y / t, что дает

Y + Y / t = X

Y / t = (X-Y) /

Y = (X-Y) (t /) = (X-Y)

а «экстраполяция» = 1-e ^{-t /} происходит из попытки сопоставить поведение с случаем функции единичного шага.

Посмотрите здесь: http://www.eckner.com/research.html

Посмотрите на вторую ссылку: «Алгоритмы для неравномерно распределенных временных рядов: скользящие средние и другие операторы качения»

Думаю, в документе описаны именно те алгоритмы программирования, которые вам нужны.

Это не полный ответ, но может быть его началом. Вот и все, что у меня получилось за час или около того игры; Я публикую это как пример того, что я ищу, и, возможно, как источник вдохновения для других, работающих над этой проблемой.

Я начинаю с S ₀, что является средним значением, полученным из предыдущего среднего значения S _-1 и образца Y ₀, взятого в t ₀. (t ₁ - t ₀) - это мой интервал выборки, и для него установлено значение, подходящее для этого интервала выборки и периода, за который я хочу усреднить.

Я подумал, что произойдет, если я пропущу образец в t ₁ и вместо этого вынужден довольствоваться образцом Y ₂, взятым в t ₂? Что ж, мы можем начать с расширения уравнения, чтобы увидеть, что произошло бы, если бы у нас было Y ₁:

• S ₂ = Y ₂ + (1-) S ₁, где S ₁ = Y ₁ + (1-) S ₀

Подставляя:

• S ₂ = Y ₂ + (1 -) (Y ₁ + (1-) S ₀)
• S ₂ = Y ₂ + (1-) Y ₁ + (1 -) (1-) S ₀
• S ₂ = Y ₂ + (1-) Y ₁ + (1-) ² S ₀

Я замечаю, что таким образом серия кажется бесконечной, потому что мы можем бесконечно подставлять S _n в правой части:

• S ₂ = Y ₂ + (1-) Y ₁ + (1-) ² (Y ₀ + (1-) S _-1)
• S ₂ = Y ₂ + (1-) Y ₁ + (1-) ² Y ₀ + (1-) ³ S _-1
• и Т. Д.

Хорошо, значит, это не совсем многочлен (глупый я), но если мы умножим начальный член на единицу, мы увидим закономерность:

• S ₂ = (1-) ⁰ Y ₂ + (1-) Y ₁ + (1-) ² Y ₀ + (1-) ³ S _-1

Хм: это экспоненциальный ряд. Квелле сюрприз! Представьте себе, что выходит из уравнения экспоненциальной скользящей средней!

Так или иначе, у меня есть эта штука x ⁰ + x ¹ + x ² + x ³ + ... иду, и я уверен, что чувствую запах e или натурального логарифма здесь, но я не могу вспомнить, куда я направлялся дальше, пока у меня не закончилось время.

Любой ответ на этот вопрос или любое доказательство правильности такого ответа во многом зависит от данных, которые вы измеряете.

Если ваши образцы были взяты при t ₀ = 0 мс, t ₁ = 0,9 мс и t ₂ = 2,1 мс, но ваш выбор основан на с интервалами в 1 мс, и поэтому вам нужно локально скорректированное _n, доказательство правильности выбора будет означать знание значений выборки при t = 1 мс и t = 2 мс.

Это приводит к вопросу: можете ли вы правильно интерполировать свои данные, чтобы иметь разумные предположения о том, какие могли быть промежуточные значения? Или можно даже само среднее значение интерполировать?

Если ни один из этих вариантов невозможен, то, насколько я понимаю, логическим выбором промежуточного значения Y (t) является последнее вычисленное среднее, то есть Y (t) S _n, где n - максимальное значение, такое что t _n ‹t.

Этот выбор имеет простое следствие: оставьте в покое, какой бы ни была разница во времени.

Если, с другой стороны, можно интерполировать ваши значения, тогда это даст вам усредненные выборки с постоянным интервалом. Наконец, если даже можно интерполировать само среднее значение, это сделает вопрос бессмысленным.

Используя немного другое значение α, равное (1-α _{из вопроса}), основная формула для добавления нового значения Y к существующему среднему значению S _{0 выглядит так:}

S (Y, S ₀) =

(1-α) Y + αS ₀ =

Y - αY + αS ₀ =

Y + α (S ₀ -Y)

Если мы теперь добавим длину временного интервала t и предположим, что от этого t зависит только α, эта формула будет выглядеть так:

S (Y, t, S ₀) = Y + α _t (S ₀ -Y)

Теперь предположим, что t = t ₁ + t ₂. Если среднее значение создается путем сложения двух значений Y для временных интервалов t ₁ и t ₂, итоговое среднее значение выглядит следующим образом:

S (Y, t ₂, S (Y, t ₁, S ₀)) =

Y + α _{t 2} (S (Y, t ₁, S ₀) - Y) =

Y + α _{t 2} ((Y + α _{t 1} (S ₀ -Y)) - Y) =

Y + α _{t 2} α _{t 1} (S ₀ -Y)

Если это среднее значение должно быть таким же, как если бы весь интервал t был бы добавлен сразу, из этого следует, что α _t = α _{t 1} α _{t 2}. Определение α, которое удовлетворяет этому требованию, будет следующим:

α _x: = A ^x (для некоторой константы A)

Так как:

α _t = A ^t = A ^{t ₁ + t ₂} = A < sup> t ₁ A ^{t ₂} = α _{t 1} α _{t 2}

В результате получается следующая функция усреднения:

S (Y, t, S ₀) = Y + A ^t (S ₀ -Y)

Я на самом деле не тестировал это, но если предположения, которые я сделал, соответствуют вашему сценарию, это выглядит как функция усреднения, которая может довольно хорошо обрабатывать вариации в интервалах выборки.

Допустим, мы хотим получить экспоненциально убывающее среднее значение непрерывной функции. Однако у нас нет всех значений этой функции, только несколько примеров. Эта формула позволит получить средневзвешенное значение имеющихся у нас выборок с весами, которые они будут иметь в непрерывном среднем значении.

Множитель _n = Alpha ^{Time _n -Time _n-1}

Сумма _n = Val _n + Sum _n-1 * Множитель _n

Подсчет _n = 1 + Подсчет _n-1 * Множитель _n

Среднее _n = Сумма _n / Количество _n

Я бы оставил значение alpha в покое и заполнил недостающие данные.

Поскольку вы не знаете, что происходит в то время, когда вы не можете сэмплировать, вы можете заполнить эти сэмплы нулями или сохранить прежнее значение стабильным и использовать эти значения для EMA. Или некоторая обратная интерполяция, когда у вас есть новая выборка, заполните недостающие значения и пересчитайте EMA.

Я пытаюсь понять, что у вас есть вход x[n], в котором есть дыры. Невозможно обойти тот факт, что вам не хватает данных. Таким образом, вы можете использовать удержание нулевого порядка или установить его на ноль, или какую-то интерполяцию между x[n] и x[n+M], где M - количество пропущенных выборок, а n - начало промежутка. Возможно даже с использованием значений до n.

Это похоже на открытую проблему в моем списке дел. У меня есть в некоторой степени проработанная схема, но пока нет математических расчетов, подтверждающих это предложение.

Обновление и резюме: хотелось бы, чтобы коэффициент сглаживания (альфа) не зависел от коэффициента компенсации (который здесь я называю бета). Отличный ответ Джейсона, уже принятый здесь, отлично подходит для меня.

Первый шаг.

• Если вы также можете измерить время, прошедшее с момента взятия последней выборки (в округленных кратных от вашего постоянного времени выборки - так что 7,8 мс с момента последней выборки будут 8 единиц), это можно использовать для многократного применения сглаживания. В этом случае примените формулу 8 раз. Фактически, вы сделали сглаживание более смещенным в сторону текущего значения.

Второй шаг.

• Чтобы получить лучшее сглаживание, нам нужно настроить альфа, применяя формулу 8 раз в предыдущем случае.

Что будет упускать это приближение сглаживания?

• В приведенном выше примере уже пропущено 7 образцов.
• Это было аппроксимировано на шаге 1 с помощью сглаженного повторного применения текущего значения еще 7 раз.
• Если мы определим коэффициент приближения бета, который будет применяться вместе с альфа (как альфа * бета, а не только альфа), мы будем предполагать, что 7 пропущенных выборок менялись плавно между предыдущим и текущим значениями выборки.