Производная — это понятие в исчислении, которое измеряет, насколько функция изменяется при изменении ее входного значения. Точнее, производная функции — это скорость, с которой функция изменяется относительно своей входной переменной.
Производная функции f(x) в конкретной точке x=a определяется как предел разностного отношения при приближении h к нулю:
Интуитивно это определение говорит нам, что производная в точке — это наклон касательной к функции в этой точке. Производную функции можно интерпретировать как мгновенную скорость изменения функции в этой точке.
Одним из примеров производной является функция f(x) = x². Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся предельным определением производной:
f’(x) = lim(h-›0) [f(x+h) — f(x)] / h
Подставляя f(x) = x² в это определение, получаем:
f’(x) = lim(h-›0) [(x+h)² — x²] / ч
Разложив числитель и упростив, получим:
f’(x) = lim(h-›0) [2xh + h²] / ч
Сократив h в числителе и знаменателе, получим:
f’(x) = lim(h->0) 2x + h
Принимая предел, когда h приближается к 0, мы получаем:
f’(x) = 2x
Следовательно, производная от f(x) = x² равна f’(x) = 2x.
Чтобы вычислить производную функции с помощью Python, мы можем использовать библиотеку SymPy. SymPy — это библиотека Python для символьной математики.
Вот пример того, как вычислить производную простой функции f(x) = x²:
import sympy as sp
# Define the function
x = sp.Symbol('x')
f = x**2
# Calculate the derivative
f_prime = sp.diff(f, x)
# Print the result
print(f_prime)
Результат: 2*х
Функция sp.Symbol используется для определения переменной x. Затем функция sp.diff используется для вычисления производной от f по отношению к x. Результат сохраняется в f_prime, который затем распечатывается.
вот код Python для вычисления производной кубического уравнения
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
# Define the function
x = sym.Symbol('x')
a, b, c, d = np.random.rand(4) # Random values for the coefficients
f = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
# Find the derivative using the diff function from sympy
df = sym.diff(f)
# Evaluate the function and the derivative at x = 3
x_val = 3
f_val = f.subs(x, x_val)
df_val = df.subs(x, x_val)
# Plot the function and the derivative
x_range = np.linspace(-10, 10, 1000)
f_range = np.array([f.subs(x, i) for i in x_range])
df_range = np.array([df.subs(x, i) for i in x_range])
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.plot(x_range, f_range, label='Function f(x)')
ax.plot(x_range, df_range, label='Derivative f\'(x)')
ax.axhline(0, color='black', lw=0.5)
ax.axvline(x_val, color='red', lw=0.5, ls='--')
ax.annotate(f'x = {x_val}', xy=(x_val, 0), xytext=(x_val, -0.2), ha='center', fontsize=12)
ax.set_ylim([-10, 30])
ax.set_ylabel('y')
ax.spines['left'].set_position('center')
ax.spines['bottom'].set_position('center')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.legend()
plt.show()
print("f(x) :",f)
print("f'(x) :",df)
print("f'(3) :",df.subs(x, x_val))
Результат:
В Python и многих других языках программирования f.subs(x, x_val) — это метод, используемый для замены значения переменной x конкретным значением x_val в выражении или уравнении f.
Например, если у нас есть выражение f = x**2 + 3*x - 5 и мы хотим заменить значение x на 2, мы можем использовать f.subs(x, 2). Это вернет значение выражения после замены значения x на 2, т. е. f.subs(x, 2) = 2**2 + 3*2 - 5 = 7.
Использование метода subs() может быть полезно, когда мы хотим оценить выражение или уравнение для определенного значения переменной без необходимости переопределять все выражение или уравнение с конкретным значением.
