День Пи — это ежегодное празднование математической константы пи (π), которая примерно равна 3,14. День Пи отмечается 14 марта (3/14 в формате даты месяц/день), что является данью первым трем цифрам числа Пи.
Пи — это математическая константа, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру, и она используется во многих областях математики, науки и техники. Пи — иррациональное число, а это означает, что его десятичное представление продолжается вечно без повторений, и оно рассчитано до триллионов цифр.
Существует множество формул, которые можно использовать для вычисления значения числа пи с высокой степенью точности. Вот несколько примеров формул числа Пи:
- Формула Лейбница: Эта формула была разработана немецким математиком Готфридом Лейбницем и основана на бесконечном ряду. Формула: π/4 = 1–1/3 + 1/5–1/7 + 1/9 — …………. Формула сходится медленно, но, складывая множество членов, число пи можно приблизить к высокой степень точности.
- Метод Нилакантхи: это еще одна формула бесконечного ряда, разработанная индийским математиком Нилакантхой. Формула: π = 3 + 4/(2x3x4) — 4/(4x5x6) + 4/(6x7x8) — ………….Эта формула сходится быстрее, чем формула Лейбница, и может использоваться для аппроксимации числа пи в высокой степени. точности.
- Формула Рамануджана: это формула, разработанная индийским математиком Шринивасой Рамануджаном, которая дает невероятно точное приближение числа Пи с использованием конечного ряда. Формула: 1/π = 2√2/9801 x ∑(n=0 до бесконечности) [(4n)! (1103 + 26390n)] / [(n!)⁴ x 396^(4n)]. Эта формула сходится очень быстро, и для аппроксимации числа пи с высокой степенью точности требуется всего несколько членов.
Это всего лишь несколько примеров из множества формул, которые можно использовать для вычисления числа Пи. Каждая формула имеет свои сильные и слабые стороны, и выбор формулы зависит от конкретной решаемой задачи и желаемого уровня точности.
Существует множество алгоритмов и формул, которые можно использовать для вычисления числа пи с большим количеством цифр, включая 1 миллиард знаков после запятой. Одним из наиболее часто используемых алгоритмов вычисления числа пи с большим количеством цифр является формула Бейли-Борвейна-Плуффа (BBP).
Формула BBP представляет собой алгоритм, который позволяет вычислять любую одну шестнадцатеричную цифру числа пи без необходимости вычисления предшествующих цифр. Это делает его высокоэффективным алгоритмом для вычисления числа пи с большим количеством цифр.
Используя формулу BBP, число пи можно рассчитать с точностью до 1 миллиарда знаков после запятой или более, хотя время вычисления, необходимое для этого, очень велико и требует специального оборудования и программного обеспечения. На самом деле, текущий мировой рекорд по вычислению наибольшего количества цифр числа «пи» принадлежит Тимоти Малликану, который за несколько месяцев вычислил число «пи» с точностью до 50 триллионов знаков после запятой, используя настольный компьютер.
Стоит отметить, что вычисление числа пи до такого большого количества цифр — это, прежде всего, исследовательская деятельность, и в большинстве областей практическое применение у него ограничено. Для большинства инженерных и научных приложений нескольких десятков цифр числа пи достаточно для достижения высокой степени точности.
Формула Бейли-Борвейна-Плауфа (BBP) представляет собой алгоритм, который позволяет эффективно вычислять любую отдельную шестнадцатеричную цифру числа пи без необходимости вычисления предшествующих цифр. Формула была открыта в 1995 году Саймоном Плуффом и названа в честь него и его соавторов, Дэвида Бейли и Питера Борвейна.
Формула BBP основана на сочетании метода извлечения цифр и модульной арифметики представления числа пи в степенном ряду. Формула может быть выражена следующим образом:
π = ∑[k = 0 до бесконечности] (1/16^k) × {[4/(8k + 1)] — [2/(8k + 4)] — [1/(8k + 5)] — [ 1/(8к + 6)]}
где ∑ обозначает суммирование, k — индекс суммирования, а члены в фигурных скобках представляют определенную шестнадцатеричную цифру числа пи.
Формула BBP представляет собой «алгоритм вставки», что означает, что он может напрямую вычислять любую отдельную цифру числа «пи» без необходимости вычисления какой-либо из предшествующих цифр. Это отличается от других алгоритмов, которые требуют вычисления всех предшествующих цифр перед вычислением конкретной цифры. В результате формула BBP особенно полезна для эффективного вычисления большого количества цифр числа пи.
Формула BBP — это мощный инструмент для вычисления отдельных цифр числа пи, но для ее эффективного применения требуется высокий уровень математических знаний и вычислительных навыков. Он использовался для установления рекордов для вычисления большого количества цифр числа пи и нашел применение в таких областях, как криптография и численный анализ.
вот код Python для вычисления числа пи по формуле Лейбница:
import time
def calculate_pi_leibniz(n):
# initialize variables
pi = 0
sign = 1
# loop through the Leibniz formula and print the value of pi for each iteration number
for i in range(n):
pi += sign / (2 * i + 1)
sign = -sign
print("Iteration", i + 1, ":", pi * 4)
# multiply pi by 4 to get the final value and return it
pi *= 4
return pi
# define the number of iterations for the Leibniz formula
n = 20
# start the timer
start_time = time.time()
# calculate pi using the Leibniz formula and print the elapsed time
pi = calculate_pi_leibniz(n)
# stop the timer and calculate the elapsed time
end_time = time.time()
elapsed_time = end_time - start_time
# print the final value of pi and elapsed time
print("The value of pi is approximately", pi)
print("Elapsed time:", elapsed_time, "seconds")
Результат с 20 итерацией.
Iteration 1 : 4.0 Iteration 2 : 2.666666666666667 Iteration 3 : 3.466666666666667 Iteration 4 : 2.8952380952380956 Iteration 5 : 3.3396825396825403 Iteration 6 : 2.9760461760461765 Iteration 7 : 3.2837384837384844 Iteration 8 : 3.017071817071818 Iteration 9 : 3.2523659347188767 Iteration 10 : 3.0418396189294032 Iteration 11 : 3.232315809405594 Iteration 12 : 3.058402765927333 Iteration 13 : 3.2184027659273333 Iteration 14 : 3.0702546177791854 Iteration 15 : 3.208185652261944 Iteration 16 : 3.079153394197428 Iteration 17 : 3.200365515409549 Iteration 18 : 3.0860798011238346 Iteration 19 : 3.1941879092319425 Iteration 20 : 3.09162380666784 The value of pi is approximately 3.09162380666784 Elapsed time: 0.0035049915313720703 seconds
