Вся математика, которая вам нужна, чтобы начать заниматься квантовыми вычислениями (часть I)

Если вы только начинаете изучать AI/ML, ознакомьтесь с моими книгами ниже:

The No Bulls**t Guide To Learning Python
Вы тот, кто думает об обучении программированию, но не знает, с чего начать? bamaniaashish.gumroad.com

Руководство по изучению искусственного интеллекта без шуток
Привет! Вы тот, кто хочет узнать об искусственном интеллекте, но не знает, с чего начать?bamaniaashish.gumroad.com

Мы живем в интересное время!

Исследователи из Google создали Sycamore, квантовый компьютер с 53 кубитами, чтобы менее чем за 200 секунд решить задачу, на решение которой у классического суперкомпьютера ушло бы примерно 10 000 лет.

Квантовое превосходство с использованием программируемого сверхпроводящего процессора — Природа
Квантовые компьютеры обещают, что определенные вычислительные задачи могут выполняться экспоненциально быстрее на…www.природе. ком

Если это недостаточно впечатляет, то в 2022 году тот же процессор Sycamore использовался для моделирования проходимой червоточины!

Проходимая динамика червоточины на квантовом процессоре — Природа
Голографический принцип, теоретически являющийся свойством квантовой гравитации, постулирует, что описание объема…www .nature.com

Чтобы улучшить ситуацию, теперь вы можете выполнять вычисления на реальном квантовом компьютере, используя библиотеки Python Qiskit от IBM и Cirq от Google.

Итак, вы хотите начать изучать квантовые вычисления?

Если да, то вы будете одним из первых, кто это сделает.

Квантовые вычисления сегодня — это то, чем был ИИ в 2000-х годах.

Я чувствую, что в ближайшие 10 лет квантовые вычисления станут модным трендом среди разработчиков программного обеспечения (точно так же, как ИИ сегодня).

Что такое квантовые компьютеры?

Квантовые компьютеры — это машины, использующие свойства квантовой физики для хранения данных и выполнения вычислений.

Кубиты (квантовые биты) вместо классических битов используются для представления информации в квантовых компьютерах.

Эти компьютеры работают на принципах квантовой механики, и чтобы начать работу с квантовыми вычислениями, необходимо знать ее основы.

Чем это отличается от классической физики?

Все мы, должно быть, читали законы движения Ньютона и применяли их в повседневной жизни.

Классическая физика/Классическая механика очень интуитивно понятна. Имеет смысл бросить мяч и посмотреть, как он движется по параболической траектории.

Квантовая механика сильно отличается от этого.

Когда мы уменьшаем размер интересующих нас объектов до уровня размера электрона, мы вступаем в интересную неинтуитивную область реальности.

Чтобы понять, как здесь все устроено, нам нужно изучить совершенно новый способ мыслительных процессов и логики.

Это то, к чему стремится квантовая механика.

Чтобы понять феномен, «наблюдаемый» (такова классическая механика!) в квантовом мире, этот раздел физики использует абстрактную математику.

Эта серия представляет собой введение во всю математику, которую вам нужно будет понять и начать заниматься квантовой механикой и квантовыми вычислениями.

Урок 1: Мнимые и комплексные числа

Состояние кубита представлено комплексными числами. Поэтому мы начинаем здесь.

Воображаемое число – это действительное число (R), умноженное на i (мнимая единица или йота).

i² = -1 or i = √-1

Также,

i³ = -i
i⁴ = +1
i^(4n-1)= -i

Не пытайтесь вычислить квадратный корень из -1, это не просто так!

Примеры мнимых чисел: 2i, -5i, 0.3i, (4/5)i

Комплексное число (z) – это сумма действительного и мнимого чисел.

z = x + iy

где x и y — действительные числа.

Сопряжение комплексного числа

Каждое комплексное число имеет уникальное сопряженное (или комплексно-сопряженное, поскольку это комплексное число), представленное z*.

Это исходное комплексное число, мнимая часть которого имеет ту же величину, но противоположный знак.

Для z = x + iy:

z* = x — iy

Добавление комплексных чисел

Два комплексных числа можно просто сложить, следуя правилам арифметики.

Для x = a+ib и y = c+id:

x + y = (a+c) + i(b+d)

Вычитание комплексных чисел

Два комплексных числа можно вычесть, следуя правилам арифметики, как показано ниже.

x — y = (a-c) + i(b-d)

Умножение комплексных чисел

Эта операция выполняется с использованием идентификатора (a+b)*(c+d) = a*c + a*d + b*c + b*d

x * y or (a+ib) * (c+id) = ac + ibc + iad + i2bd

Поэтому,

x * y = (ac — bd) + i(bc + ad)

Умножение комплексных чисел на сопряженные

Эта операция, то есть z * (z*), всегда приводит к положительному вещественному числу.

Для x = a + ib и его сопряженного x* = a — ib,

x * (x*) = a*a — b*(-b) + i(b*a + a*(-b))

x * (x*) = a² + b²

Деление комплексных чисел

Для x и y, как указано выше, x/y выполняется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число y.

x/y = (a + ib) / (c + id) = (a + ib)(c — id) / (c+id)(c-id)

Это приводит к:

x/y = [(ac+bd)+ i(bc-ad)] /c² + d²

Представление комплексных чисел

Мы научимся графически представлять комплексные числа в двух формах:

на Декартовой плоскости (также называемой Диаграммой Аргана/Комплексной плоскости/S-плоскости/Плоскости Гаусса)
используя полярные координаты

Представление на декартовой/комплексной плоскости

Когда комплексное число представлено на двумерной декартовой плоскости,

ось вертикальная (y) соответствует мнимой части комплексного числа
ось горизонтальная (x) соответствует действительной части комплексного числа

Представление с использованием полярных координат на комплексной полярной плоскости

Полярная система координат представляет собой двухмерную плоскость, в которой положение точки определяется расстоянием (называемым радиусом) от контрольной точки (называемой полюс) и уголот исходного направления (называемый полярной осью).

Углы в полярной системе обозначений выражаются в градусах или радианах.

Обратите внимание, что 2π radians = 360°

Комплексное число может быть представлено в полярной комплексной плоскости, где ось x представляет действительную часть, а ось Y представляет мнимую часть комплексного числа.

Комплексное число z можно записать с использованием полярной записи как:

где:

e число Эйлера
φ называется аргументом комплексного числа z.
r называется абсолютным значением/модулем/величинойкомплексного числа z

Используя теорему Пифагора,

Если вы немного запутались, обратите внимание, что приведенная выше запись представления комплексного числа использует формулу Эйлера, которая утверждает, что для любого действительного числа x:

Давайте изучим несколько математических операций над комплексными числами, записанными в полярной форме.

Обратите внимание, что проще выполнять сложение и вычитание в неполярной/компонентной/прямоугольной форме, но легче умножать и делить в полярной записи.