Мнимое число i обладает свойством цикличности. Он повторяет шаблон для каждых 4 циклов умножения.

i⁰ = +1
i¹ = +i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = +1
i⁵ = +i

Теперь проблема в том, что, если он начинается с отрицательного i.

(-i)⁰ = +1
(-i)¹ = -i
(-i)² = -1
(-i)³ = +i
(-i)⁴ = +1
(-i)⁵ = -i

Теперь это интересно. Сравнивая результат с положительным i, результат отрицательного меняет местами некоторые знаки. Но какова закономерность?

Мыслите пространственно. Не буквально. Вот часы, составленные из всех возможных произведений умножения мнимого числа i. И вы начинаете сверху.

     *start
    +1 
   /  \
 -i    +i
   \  / 
    -1

Go clockwise, you end up landing on the position of +i. 
Go anti-clockwise, you end up landing on the position of -i.
     *start
    +1 
   /  \
 -i    +i *step1
   \  / 
    -1

Двигаетесь ли вы по часовой стрелке или против часовой стрелки, действие «идти» фактически умножает текущее состояние на +i или -i.

по часовой стрелке = умножение текущего состояния на +i
против часовой стрелки = умножение текущего состояния на -i

Вы идете по часовой стрелке, затем идете против часовой стрелки. Вы приземляетесь на ту же позицию. Действия по часовой стрелке и против часовой стрелки компенсируют друг друга.

   *step2
   *start
    +1 
   /  \
 -i   +i *step1
   \  / 
    -1
 
 +i * -i = 1 (identity)

Итак, почему дегенераты, пишущие учебники по математике, никогда не смогут объяснить вам, как выполнять цепное умножение +i и -i, смешивая их вместе, так это то, что они даже не понимают структуру.

Что, если +i * -i * +i * +i * -i * +i * +i * -i * -i ?

Вам просто нужно считать.

5 по часовой стрелке и 4 против часовой стрелки = +5 -4 = 1 = 1 шаг по часовой стрелке = +i

Что делать, если результат превышает 4?

Поскольку мнимое число повторяется в цикле 4, вы делаете для него модуль 4.

999999 шагов по часовой стрелке = 999999 mod 4 шага по часовой стрелке = 3 шага по часовой стрелке

-999999 шаг по часовой стрелке = -999999 mod 4 шага по часовой стрелке = 1 шаг по часовой стрелке

Сделанный.