Краткое описание комбинаций и перестановок и их различий

Введение

Комбинации и перестановки распространены в математике и статистике, поэтому это полезная концепция, которую должны знать специалисты по данным.

В этом посте я хочу обсудить разницу между ними, разницу между ними, а также то, как их можно рассчитать для некоторых заданных данных.

Обзор и простой пример

Основное различие между перестановками и комбинациями заключается в том, что для первых порядок имеет значение, а для вторых — нет.

Например, предположим, что у нас есть три шара разного цвета: красный, зеленый и синий, и мы хотим расположить их в произвольном порядке, например:

1: RED
2: GREEN
3: BLUE

Комбинация этих трех шаров равна 1, так как каждый заказ будет содержать одну и ту же комбинацию из трех шаров. Однако существует 6 перестановок, которые мы можем иметь:

1: RED    1: RED    1: GREEN  1: GREEN  1: BLUE.  1: BLUE
2: GREEN  2: BLUE   2: RED.   2: BLUE   2: RED    2: GREEN
3: BLUE   3: GREEN  3: BLUE.  3: RED    3: GREEN  3: RED

Теперь у вас есть общее представление о том, что означают комбинации и перестановки, давайте углубимся в теоретические детали!

Перестановки

Как мы уже говорили, для перестановок порядок важен, и нам нужны все возможные способы/списки упорядочивания чего-либо.

На самом деле есть два типа перестановок:

Пробежимся по обоим!

С повторением

Это довольно интуитивно понятно для объяснения. Например, у замка есть варианты для четырех цифр в диапазоне 0–9.

Каковы перестановки кода для этого замка?

Итак, первая цифра может иметь 10 значений, вторая цифра может иметь 10 значений, третья цифра может иметь Значения 10 и последняя четвертая цифра также могут иметь значения 10. Таким образом, существует 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000перестановок!

Математически формула для перестановок с повторением:

Где у нас есть n вариантов выбора на каждом r этапе.

Без повторения

Вернемся к нашей аналогии с мячом, где мы хотим разместить три цветных шара: красный, зеленый и синий в произвольном порядке.

Сколько существует перестановок для трех разноцветных шаров?

Первый мяч может попасть в любое из трех мест, поэтому у него есть 3 варианта. Затем второй шар может занять любое из двух оставшихся мест, поэтому у него есть 2 вариантов. Наконец, последний мяч имеет только одно место, поэтому вариант 1.

В этом процессе каждый мяч можно было использовать только один раз, поэтому не было никаких повторений, и наши варианты уменьшались при каждом выборе. В данном случае у нас было 3 варианта, затем 2 и затем 1. Математически мы имели:

Восклицательный знак — это функция факториала. Например,n! является произведением всех целых чисел от 1 до n.

Теперь давайте немного переформулируем проблему.

Сколько существует вариантов выбора двух из трех имеющихся шаров?

Сначала у меня есть 3 варианта, затем во втором варианте у меня есть 2 варианта. У нас также остался 1 мяч, но мы хотели только 2 вариантов!

Чтобы учесть это, мы просто делим на оставшиеся перестановки. В нашем случае, к счастью, это всего лишь 1!:

Давайте рассмотрим лучший пример, чтобы сделать эту концепцию более конкретной.

Каковы варианты выбора четырех карт из обычной колоды карт?

Первую карту мы выбираем из 52 вариантов, вторую — 51, третью — 50, четвертый - 49и так далее. Поскольку нам нужны только перестановки из первых 4 карточек, мы должны разделить на оставшиеся перестановки (52 – 4 = 48):

Это много!

Альтернативным простым способом может быть просто вычисление произведения 52, 51, 50 и 49.

В общем, формула для перестановок без повторения задается:

  • n – общее количество вещей.
  • rколичество вещей, которые мы выбираем

Формулу можно использовать для проверки всех примеров задач, которые мы рассмотрели выше.

Комбинации

Для комбинаций порядок не имеет значения, поэтому (1, 2) = (2, 1).

Аналогично перестановкам есть два типа комбинаций:

Давайте рассмотрим оба сценария.

Без повторения

Давайте еще раз вернемся к нашему сценарию с цветным шаром, где мы выбираем два шара из трех, которые имеют цвета красный, синий и зеленый.

Сколько различных комбинаций двух разных шаров мы можем выбрать из трех доступных?

Ну, перестановок этой проблемы было 6, но это включает в себя порядок. Чтобы учесть порядок, мы просто делим на количество перестановок двух элементов:

Что имеет смысл, поскольку мы можем иметь: (красный, синий), (синий, зеленый) и (красный,зеленый).

Итак, чтобы получить комбинации, мы вычисляем перестановки и делим на перестановки количество выбранных нами вещей.

В общем, формула для комбинаций без повторения дается:

  • n – общее количество вещей.
  • rколичество вещей, которые мы выбираем

Это часто выражается как 'n select r'с использованием биномиального коэффициента.

Можно использовать приведенную выше формулу, чтобы проверить результаты для примеров, которые мы обсуждали выше.

С повторением

Это самое трудное для понимания из всех.

Для этого примера мы вернемся к нашему всемогущему сценарию с тремя разноцветными шарами (красный, зеленый и синий) и спросим:

Сколько комбинаций (с повторением) получается при выборе двух шаров из набора из трех разных шаров?

Поскольку нам разрешено повторять шары, у нас могут быть такие комбинации, как: (синий, синий), (красный, красный) и (зеленый, зеленый). Поэтому, когда мы выбираем один мяч, он как бы волшебным образом возвращается к нашему выбору следующего мяча, который мы можем выбрать.

Эти 3 новые комбинации являются дополнением к количеству комбинаций без повторений, которое мы рассчитали выше, что составляет 3. Следовательно, общее количество комбинаций с повторением для этого вопроса равно 6.

Формула для комбинаций с повторением:

  • n – общее количество вещей.
  • rколичество вещей, которые мы выбираем

Полный вывод этой общей формулы довольно длинный и трудоемкий, поэтому я приложил здесь полный вывод для заинтересованного читателя!

Заключение

В этой статье мы исследовали разницу и математику, лежащую в основе комбинаций и перестановок. Главное помнить, что в перестановках порядок не имеет значения, но имеет значение для комбинаций!

Свяжись со мной!

(Все эмодзи разработаны OpenMoji — проект эмодзи и иконок с открытым исходным кодом. Лицензия: CC BY-SA 4.0)