Итак, я изучал это, и это начало становиться трудным, когда вы достигаете собственных значений и собственных векторов (подробнее об этом в моих следующих блогах).

Векторное пространство:

Если вы читали о векторах, то они следуют двум основным свойствам: 1. Аддитивность (u+v) и 2. Мультипликативность (cu), где u и v — векторы, а c — скаляр (любое число). Также есть еще восемь свойств, по которым векторы следуют перечисленным выше основным свойствам. Помните предыдущий пост, мы должны были решить линейное уравнение формата Ax=b. Мы нашли решение в одном измерении. Здесь нам нужно найти в 2d, 3d и более высоких измерениях, мы называем это R1, R2, R3,………Rn. Итак, концепция векторного пространства заключается в том, как найти решение уравнения Ax=b для более высоких измерений. Какие векторы в более высоких измерениях удовлетворяют уравнению, означающему, что они находятся в векторном пространстве. Векторы будут числом векторов-столбцов (комбинация векторов в этом измерении) R1 один вектор, R2 два вектора, Rn n векторов (компоненты или линейная комбинация векторов). Так что он всегда будет удовлетворять указанному выше свойству. Кажется, я это уже говорил.

Допустим, вектор проходит через начало координат (0,0). Этот вектор всегда будет удовлетворять Ax=b независимо от размерности. Таким образом, исходный вектор (0,0) всегда находится в векторном пространстве размерной матрицы Rn для n = 2. Здесь «b» становится 0, когда x проходит через начало координат.

Векторное подпространство:

Подпространство — это замкнутый набор значений в векторном пространстве. Итак, если скалярное значение равно 0, а вектор находится в подпространстве матрицы A, мы можем сказать, что наименьшее подпространство (давайте назовем его Z) для матрицы размерности Rn равно 0 и удовлетворяет свойству 0 + 0 = 0 и c * 0 =0, где c — скаляр. Таким образом, для трехмерной плоскости (R3) одним из векторных пространств является исходный вектор (0,0,0), и любая линия (скажем, вектор x ), проходящая через начало координат, и линия находится на плоскости, также находится в подпространстве R3 .

Пространство столбца:

Пространство столбцов — это линейная комбинация всех столбцов A под подпространством любой размерности Rn. Рассмотрим матрицу m*n «A» (извините, я не могу привести здесь примеры). Умножая A на вектор x, мы находим все комбинации A, так что мы находим индивидуальное решение b1,b2,b3,b3. Если вектор b(b1,b2,b3,b4=0), то Ax=0. Найдите векторы x, которые дадут это решение.

Нулевой пробел:

Нулевое пространство N(A) пытается решить Ax=0. Нахождение всех векторов x так, чтобы уравнение удовлетворяло. Скажем, для матрицы A

на картинке есть несколько решений x, которые докажут уравнение. Во-первых, это (0,0,0) вектор. Попробуйте найти другие решения. После некоторых вычислений мы можем сказать, что каждое кратное единичному вектору (1,1,-1) удовлетворяет уравнению.

Аналогичным образом можно решить нулевое пространство для матриц более высоких измерений, и все они будут следовать свойствам векторов u+v и cv.

Остальные свойства, которым следуют векторы:

Здесь x, y, z — векторы, а F — любая матрица размерности.

1.  Closure of addition: if x, y are in F, then x+y is in F.
2.  Closure of multiplication: if x, y are in F, then xy is in F.
3.  Associative Law of Addition: if x, y, z are in F, then (x+y)+z=x+(y+z)
4.  Associative Law of Multiplication: if x, y, z are in F, then (xy)z=x(yz)
5.  Distributive Law: if x, y, z are in F, then x(y+z)=xy+yz
6.  Existence of 0: an element of F satisfying x+0=x for all x in F
7.  Existence of 1: an element of F satisfying x.1=x for all x in F
8.  Existence of additive inverses (negatives):If x is in F, there exists y in F such that x+y=0
9.  Existence of multiplicative inverses (reciprocals), except for:  If x is in F is not the zero element, then there exists an element y in F such that xy=1.
10. Commutative Law of Addition: If x, y are in F, then x+y=y+x
11. Commutative Law of Multiplication: If x, y are in F, then xy=yx.

Решение уравнений типа Ax=0 и Ax=b

Если вы решили некоторые уравнения с помощью метода исключения Гаусса, вам могут быть известны опорные значения (значения, которые не могут быть далее разделены в матрице).

Приведенная выше матрица даст такое решение. Таким образом, мы находим опорные значения для матрицы m * n здесь 4 * 3, опорное значение называется «рангом» матрицы.

Здесь «C» — это скаляр, который можно умножить на вектор возможного решения. (x1,x2,x3,x4) являются элементами матрицы «x»

Последняя форма матрицы, которая появится после исключения, называется формой эшелона с уменьшенной строкой (rref).

Из этого можно узнать каждое решение матрицы. Возможно, я не смогу показать решение здесь (даже со снимками экрана). Таким образом, форма rref уравнения и все его линейные комбинации дадут решение Ax=B. Следуйте набору задач MIT Open Course ware (18.06) для получения подробной информации.

Приложение:

Я узнал хорошее применение этой концепции. Теория кодирования

Спутники передают много данных из космоса, но данные заполнены шумом, чтобы закодировать сообщение таким образом, чтобы при его декодировании на земле коэффициент шума был снижен. Поскольку одни и те же данные повторно отправляются дважды или трижды, но у нас недостаточно места для хранения копий данных. Поэтому мы следуем подходу обнаружения и исправления ошибок.

Большая часть данных имеет двоичный формат (пока он преобразуется в двоичный, даже если мы отправляем данные в текстовом виде). Мы используем код Хэмминга для обнаружения ошибок. Код Хэмминга сам по себе является предметом обсуждения. Май для следующего блога.

Подробный процесс использования кода Хэмминга и линейной алгебры. "Кликните сюда".

Спасибо, что прочитали этот математический пост. Скоро я добавлю больше концепций.