Демонстрация того, как использование собственного базиса в качестве системы координат делает линейные преобразования более эффективными и менее трудоемкими.

Для линейного преобразования T : ℝⁿ → ℝⁿ
Нам нужна матрица A, называемая матрицей преобразования, такая, что T(x)=Ax.

Здесь матрица A является плотной матрицей и становится огромной при больших значениях n. Когда нам нужно преобразовать вектор x в T(x) много раз, мы должны применить матрицу A снова и снова, что делает вычисления очень высокими. Поэтому нам необходимо оптимизировать этот процесс и найти более эффективный способ реализации этой задачи.

Чтобы сократить объем вычислений, мы меняем систему координат x со стандартной базы на собственную.

Весь процесс сокращения вычислений, необходимых для линейного преобразования, показан на рисунке выше, где D представляет собой диагональную матрицу.

Этот процесс состоит из 3 основных этапов:

  1. Преобразование вектора x в соответствующий вектор в собственном базисе.
  2. Применение диагональной матрицы D для преобразования x в собственный базис.
  3. Преобразование преобразования x в собственном базисе в стандартный базис.

Что такое диагональная матрица?

Матрица, имеющая ненулевые элементы только по диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний.

Теперь мы подробно рассмотрим каждый шаг процесса.

Преобразование вектора x в соответствующий вектор в собственном базисе.

Вектор x можно записать как линейную комбинацию векторов v₁, v₂, v₃…vₙ —

Мы также знаем, что -

Из уравнения 1 и уравнения 2 мы можем записать вектор x в стандартном базисе как -

Вычисление диагональной матрицы D

Предположим, что A имеет n линейно независимых собственных векторов.

Поэтому мы можем сказать, что -

Это можно записать как -

которое похоже на уравнение 1, и поэтому мы можем записать преобразование данного вектора в собственном базисе как —

Так же,

Также,

Используя ту же концепцию, мы можем записать векторы v₁, v₂, v₃…vₙ в собственном базисе —

Теперь, комбинируя уравнения 4 и уравнения 5, преобразование векторов v₁, v₂, v₃…vₙ в собственном базисе можно записать как

Из уравнений 6 —

Как видно, в матрице D все элементы равны нулю, кроме диагональных (здесь диагональные элементы — не что иное, как собственные значения). Преимущество диагональной матрицы заключается в том, что вычислений при ее умножении на какую-либо другую матрицу требуется намного меньше (только n вычислений) по сравнению с умножением плотной матрицы, такой как матрица A, которая имеет порядок O(N³).

Преобразование преобразования вектора x в собственном базисе в стандартный базис

Наконец, преобразование xв собственном базисе можно легко преобразовать в преобразование xвстандартном базисе с помощью —

Вывод

Чтобы уменьшить вычислительную мощность, необходимую для линейных преобразований, мы можем преобразовать заданный вектор в стандартном базисе в вектор в собственном базисе, а затем применить диагональную матрицу D, которая не содержит ничего, кроме собственных значений, в качестве диагональных элементов. Поэтому нам нужны только собственные значения для выполнения преобразования. Наконец, преобразование данного вектора в собственный базис преобразуется обратно в стандартный базис для достижения желаемого преобразования.

Преимущество всего этого заключается в том, что диагональная матрица требует очень меньше вычислительной мощности при умножении ее на какую-либо другую матрицу (порядка n), тогда как умножение плотной матрицы, такой как матрица A, имеет сложность O( Н³).