Существуют сотни приложений, в которых вам нужно найти длину или величину определенного вектора, будь то постановка школьной задачи по физике, реальный жизненный сценарий или даже само машинное обучение. Величина векторов решила многие проблемы, особенно в машинном обучении, которое помогло продвинуть разработку моделей. В самой статье я расскажу об одном таком приложении, а именно регуляризации. Давайте углубимся в нормы векторов.

Вступление

Норма - это не что иное, как величина или длина вектора в векторном пространстве. Вектор может быть представлен в пространстве, подобном этому рисунку.

Этот вектор имеет некоторую длину в векторном пространстве. Допустим, мы говорим, что длина этого вектора равна 5 единицам. Точно так же мы говорим, что норма этого вектора равна 5 единицам.

Как найти норму вектора

В этом разделе я расскажу о трех методах нахождения нормы вектора. Да! тот, который вы, возможно, изучали в школьных учебниках, не только тот.

L1 Норма

Первый - это норма L1 вектора, которая находится по манхэттенскому расстоянию вектора от начала векторного пространства. Геометрия, в которой для определения расстояний между точками используется расстояние Манхэттена, называется геометрией такси. Найдем норму вектора, равную v = [1 2 3]. Этот вектор также можно представить как i + 2j + 3k, где i, j, k - единичные векторы вдоль трех осей в пространстве. Математическое представление нормы L1 равно || v || 1. Норма этого вектора определяется суммой абсолютных значений каждого скаляра, которые в нашем случае равны 1, 2 и 3. Математически || v || 1 = | 1 | + | 2 | + | 3 | что дает 6. Обратите внимание, что это не что иное, как расстояние Манхэттена от начала координат, если мы представим скаляры как | 1–0 | + | 2–0 | + | 3–0 |. Норма L1 может быть добавлена ​​к функциям потерь в машинном обучении, чтобы применить регуляризацию L1 для предотвращения чрезмерной подгонки в моделях. Математическое уравнение для добавления нормы L1 к функции потерь:

L2 Норма

Теперь перейдем к норме L2. Это один из наиболее часто используемых методов поиска норм векторов. Рассмотрим тот же пример, пусть наш вектор будет [1 2 3]. Норма L2 этого вектора представлена ​​как || v || 2, что соответствует sqrt (1² + 2² + 3²), что дает что-то вроде 3,74. Конечно, в этом методе величина изменилась, но она все еще является нормой. В этом случае мы вычисляем евклидово расстояние от начала координат. Для интуиции я представляю уравнение как sqrt ((1–0) ² + (2–0) ² + (3–0) ²). Теперь это утверждение может показаться знакомым. Техника регуляризации также может применяться с этой нормой.

Ценность норм не может быть отрицательным правом! (если нет теории относительности, опровергающей это утверждение)

Вектор Макс Норма

Третий - это максимальная норма вектора, которая утверждает, что максимум данных скаляров (принимая их абсолютные значения) является самой нормой. В нашем предыдущем случае это 3 верных! Например, в векторе v1 = [1 -4 2] это 4.

Заключение

Если вас просят найти нормы векторов, просто попросите спрашивающего указать метод из трех вышеупомянутых и реализовать алгоритм, чтобы найти его. Вы не найдете ничего, кроме длины этого конкретного вектора в векторном пространстве.